ヴィノグラドフの定理

数論において、ヴィノグラードフの定理は、十分に大きい任意の奇数は3つの素数の和として表せるという結果である。これは、5より大きいすべての奇数に対してそのような表現が存在するというゴールドバッハの弱い予想の弱い形である。これは、1930年代に証明したイヴァン・マトヴェイエヴィチ・ヴィノグラードフにちなんで名付けられた。ハーディとリトルウッドは、この結果が一般化リーマン予想に従うことを以前に示しており、ヴィノグラードフはこの仮定を取り除くことができた。ヴィノグラードフの定理の完全な記述は、奇数を3つの素数の和として表現する数の漸近的境界を与える。「十分に大きい」という概念は、ヴィノグラードフの元の研究では明確に定義されていなかったが、2002年に10 ¹³⁴⁶が十分に大きいことが示された。^{[1] [2]さらに、10 20}までの数は総当たり法で確認されており、^[3]そのため、奇数ゴールドバッハ予想が証明または反証されるまでに確認できるケースは有限個しか残っていませんでした。2013年、ハラルド・ヘルフゴットはゴールドバッハの弱い予想をすべての場合について証明しました。

Aを正の実数と すると、

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),}$

どこ

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

フォン・マンゴルト関数 を用いて、 ${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).}$

Nが奇数の場合、G ( N )はほぼ1なので、十分に大きいNに対しては1となる。r ( N )への真素数の累乗の寄与が であることを示すことにより、次のことがわかる 。${\displaystyle N^{2}\ll r(N)}$${\displaystyle O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)}$

${\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll \left({\hbox{N を 3 つの素数の和として表す方法の数}}\right).}$

これは特に、十分に大きい奇数は 3 つの素数の和として表すことができることを意味し、有限の場合を除いて ゴールドバッハの弱い予想が成り立つことを示しています。

定理の証明はハーディ・リトルウッド円法に従う。指数和を定義する

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)}$。

そして、

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\チルダ {r}}(n)e(\alpha n)}$、

ここで、は素数の累乗に制限された表現の数を表します。したがって、 ${\displaystyle {\tilde {r}}}$${\displaystyle \leq N}$

${\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha }$。

が有理数 の場合、 は を法とする剰余類における素数の分布によって与えられます。したがって、ジーゲル・ワルフィスの定理を使用して、分母が小さい有理点の小さな近傍における上記の積分の寄与を計算できます。このような有理点に近い実数の集合は通常、長弧と呼ばれ、その補集合は短弧を形成します。これらの区間が積分の大部分を占めることが判明しているため、定理を証明するには、短弧に含まれる の上限を与える必要があります。この推定が証明の最も難しい部分です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle S(\alpha )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle S(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$

一般化リーマン予想を仮定すると、主弧に使用された議論は副弧に拡張できます。これは、1923 年にハーディとリトルウッドによって行われました。1937 年にヴィノグラドフは の無条件の上限を与えました。彼の議論は単純なふるい恒等式から始まり、結果として得られた項は複雑な方法で並べ替えられ、何らかの相殺が得られました。1977 年にRC ヴォーンは、後にヴォーンの恒等式として知られるようになったものに基づいて、はるかに単純な議論を見つけました。彼はの場合、 ${\displaystyle |S(\alpha )|}$${\displaystyle |\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

${\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N}$。

ジーゲル・ワルフィスの定理を用いると、任意の のべき乗までを扱うことができ、ディリクレの近似定理を用いると、小弧上で次の式が得られる。したがって、小弧上の積分は 、${\displaystyle q}$${\displaystyle \log N}$${\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}}$

${\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}}$、

これは定理の誤差項を与えます。

• ヴィノグラドフ、イヴァン・マトヴェエヴィチ(1954)。『数論における三角和の方法』 。KF ロスとアン・ダヴェンポートによる翻訳、改訂、注釈。ロンドンおよびニューヨーク: インターサイエンス。MR  0062183。
• ナサンソン、メルヴィン B. ( 1996)。加法数論。古典的基底。数学の大学院テキスト。第 164 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi :10.1007/ 978-1-4757-3845-2。ISBN 0-387-94656-X. MR  1395371。 第8章。

• Weisstein, Eric W.「ヴィノグラドフの定理」。MathWorld。