可変範囲ホッピング

可変範囲ホッピングは、無秩序な半導体または非晶質固体中のキャリア輸送を、広い温度範囲でのホッピングによって記述するために使用されるモデルである。 ^[1]これは、次のような特徴的な温度依存性を持つ 。

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}}$

ここで、は導電率であり、は検討中のモデルに依存するパラメータです。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \beta}$

モット可変範囲ホッピングは、局所的な電荷キャリア状態を持つ強く無秩序なシステムにおける低温伝導を記述し^[2]、特徴的な温度依存性を持つ。

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}}$

3次元伝導度（= 1/4）に対しては、d次元 に一般化される。${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)}}}$。

低温でのホッピング伝導は、半導体業界が単結晶デバイスをガラス層に置き換えることができればコスト削減が実現できるため、大きな関心を集めています。^[3]

オリジナルのモットの論文では、ホッピングエネルギーはホッピング距離の3乗に反比例するという単純化された仮定が導入されました（3次元の場合）。後にこの仮定は不要であることが示され、ここではその証明に従っています。^[4] オリジナルの論文では、特定の温度でのホッピング確率は、サイトの空間的分離であるRと、エネルギー分離であるWという2つのパラメーターに依存すると見られていました。アプスリー氏とヒューズ氏は、真にアモルファスなシステムでは、これらの変数はランダムかつ独立しているため、 2つのサイト間のホッピングの確率を決定する2つのサイト間の距離 という1つのパラメーターに組み合わせることができると指摘しました。 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

モットは、空間分離とエネルギー分離の2つの状態Wの間をホッピングする確率は次の式で表されることを示しました。 ${\displaystyle \textstyle R}$

${\displaystyle P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]}$

ここで、α ^{−1 は}水素のような局在波動関数の減衰長です。これは、より高いエネルギーを持つ状態へのホッピングが速度制限プロセスであると仮定しています。

ここで、2 つの状態間の範囲を と定義します。つまり、状態は4次元のランダム配列 (3 つの空間座標と 1 つのエネルギー座標) 内の点とみなすことができ、状態間の「距離」は範囲 によって与えられます。 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT}$${\displaystyle \textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

伝導は、この4次元配列を通る多数のホップの結果であり、短距離ホップが優先されるため、状態間の平均最近傍「距離」が全体の伝導性を決定します。したがって、伝導性は次の形式になります。

${\displaystyle \sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})}$

ここで、平均最近傍範囲です。したがって、問題はこの量を計算することです。 ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

最初のステップは、フェルミ準位におけるある初期状態の範囲内にある状態の総数を求めることである。d次元の場合、特定の仮定の下では、これは次のようになる。 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$

ここで、 です。具体的な仮定は、がバンド幅よりも十分に小さく、原子間の間隔よりも十分に大きいということだけです。 ${\displaystyle \textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d}}}}$${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

すると、範囲を持つ状態が4次元空間（または一般には（d +1）次元空間）で最も近い隣接状態である 確率は${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]}$

最近傍分布。

d次元の場合 、

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\ exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}}$。

これは、ガンマ関数に を単純に代入することで評価できます。${\displaystyle \textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$${\displaystyle \textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

代数的に計算すると次のようになる。

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1}}}\right)}$。

状態密度が一定でないとき（奇数べき乗則 N(E)）、この記事で示されているように、モット伝導率も回復されます。

エフロス・シュクロフスキー（ES）可変範囲ホッピングは、クーロンギャップ（フェルミ準位付近の状態密度の小さなジャンプ、局在電子間の相互作用による）を説明する伝導モデルである。[5] これは、 1975年に提案したアレクセイ・L・エフロスとボリス・シュクロフスキーにちなんで名付けられた。 ^{[5 ]}

クーロンギャップを考慮すると、温度依存性は次のように変化する。

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2}}}$

すべての次元について（すなわち= 1/2）。^{[6] [7]}${\displaystyle \beta}$

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