ディリクレ代数

数学において、ディリクレ代数は、コンパクトなハウスドルフ空間Xに関連付けられた特別なタイプの代数です。これは、 X上の有界連続関数の一様代数C ( X )の閉じた部分代数であり、その実部はX上の有界連続実関数の代数に稠密です。この概念は、アンドリュー・グリーソン(1957)によって導入されました 。

を 上で連続なすべての有理関数の集合とします。言い換えると、に極を持たない関数です。すると ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X)+{\overline {{\mathcal {R}}(X)}}}$

は の *-部分代数であり、 の*-部分代数です。が において稠密である場合、 はディリクレ代数であるといいます。 ${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$

演算子がスペクトル集合を持ち、ディリクレ代数である場合、正規境界拡大 を持つことが示されます。これは、 Sz.-Nagyの拡大定理を一般化したものであり、この定理は、次のようにしてこの結果として見ることができます 。${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle X=\mathbb {D} .}$

• Gleason, Andrew M. (1957)、「関数代数」、Morse, Marston、Beurling, Arne、Selberg, Atle (編)、解析関数セミナー: セミナー III: リーマン面、セミナー IV: 保型関数の理論、セミナー V: バナッハ代数に関連する解析関数、第 2 巻、プリンストン高等研究所、pp. 213–226、Zbl  0095.10103
• Nakazi, T. (2001) [1994]、「ディリクレ代数」、数学百科事典、EMS Press
• 完全有界写像と作用素代数Vern Paulsen、2002 ISBN 0-521-81669-6 
• ワーマー、ジョン（2009 年 11 月）、ボルカー、イーサン D.（編）、「グリーソンのバナッハ代数に関する研究」（PDF）、アンドリュー M. グリーソン 1921–2008、アメリカ数学会報、56 (10): 1248–1251。