2レイ地表反射モデル

2 レイ グランド反射モデルは、送信アンテナと受信アンテナが見通し内 (LOS)にある場合の経路損失を予測するマルチパス 無線伝搬モデルです。通常、2 つのアンテナの高さはそれぞれ異なります。受信信号には、主に単一のグランド反射波によって形成される LOS 成分と反射成分の 2 つの成分があります。

• 2 レイ グラウンド反射モデルは、無線通信システムにおける送信機と受信機間のパス損失を推定し、実際に使用される通信パスを推定するために使用される簡略化された伝播モデルです。信号が 2 つのパスを通って伝播することを前提としています。

1) 直接パス: 送信機アンテナと受信機アンテナ間の直接の見通しパス。2) 反射パス: 信号が受信機に到達する前に地面で反射するパス。

図から、受信視線成分は次のように表される。

${\displaystyle r_{los}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda {\sqrt {G_{los}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t)e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}\right\}}$

地面からの反射成分は次のように表される。

${\displaystyle r_{gr}(t)=Re\left\{{\frac {\lambda \Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}}{4\pi }}\times {\frac {s(t-\tau )e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right\}}$

ここで、は送信信号、は直接見通し線（LOS）光線の長さ、は地面反射光線の長さ、はLOS経路に沿った合成アンテナ利得、は地面反射経路に沿った合成アンテナ利得、は伝送波長（、ここでは光速、は伝送周波数）、は地面反射係数、はモデルの遅延拡散で、これは に等しい。地面反射係数は^{[1]である。}${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x+x'}$${\displaystyle G_{los}}$${\displaystyle G_{gr}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma (\theta )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (x+x'-l)/c}$

${\displaystyle \Gamma (\theta )={\frac {\sin \theta -X}{\sin \theta +X}}}$

ここで、またはは、それぞれ信号が水平偏波か垂直偏波かによって異なります。は次のように計算されます。 ${\displaystyle X=X_{h}}$${\displaystyle X=X_{v}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{h}={\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }},\ X_{v}={\frac {\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }}{\varepsilon _{g}}}={\frac {X_{h}}{\varepsilon _{g}}}}$

定数は地面（または一般的に言えば、信号が反射される材料）の比誘電率であり、上図に示すように地面と反射光線の間の角度です。 ${\displaystyle \varepsilon _{g}}$${\displaystyle \theta}$

図の幾何学から次の式が得られます。

${\displaystyle x+x'={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

そして

${\displaystyle l={\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$、

したがって、それらの間の経路長の差は

${\displaystyle \Delta d=x+x'-l={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}-{\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

そして波間の位相差は

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi \Delta d}{\lambda }}}$

受信信号の電力は

${\displaystyle P_{r}=E\{|r_{los}(t)+r_{gr}(t)|^{2}\}}$

ここで、は平均（時間の経過に伴う）値を表します。 ${\displaystyle E\{\cdot \}}$

信号が逆遅延拡散に対して狭帯域である場合、つまり となる場合、電力方程式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle 1/\tau}$${\displaystyle s(t)\approx s(t-\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}=E\{|s(t)|^{2}\}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{ 2}\times \left|{\frac {{\sqrt {G_{los}}}\times e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right|^{2} &=P_{t}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\time \left|{\frac {\sqrt {G_{los}}}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j\Delta \phi }}{x+x'}}\right|^{2}\end{aligned}}}$

送信電力は どこにありますか。${\displaystyle P_{t}=E\{|s(t)|^{2}\}}$

アンテナ間の距離がアンテナの高さに比べて非常に大きい場合は、 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \Delta d=x+x'-l}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta d=x+x'-l=d{\Bigg (}{\sqrt {{\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}-{\sqrt {{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}{\Bigg )}\end{aligned}}}$

のテイラー級数を使用する: ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots ,}$

最初の2つの項だけを取り出すと、

${\displaystyle x+x'-l\approx {\frac {d}{2}}\times \left({\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}-{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}\right)={\frac {2h_{t}h_{r}}{d}}}$

位相差は次のように近似できる。

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}}$

が大きい場合、、 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d&\approx l\approx x+x',\ \Gamma (\theta )\approx -1,\ G_{los}\approx G_{gr}=G\end{aligned}}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-e^{-j\Delta \phi }|^{2}}$

テイラー級数を用いた展開${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots }$

最初の2つの用語のみを保持する

${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }\approx 1+({-j\Delta \phi })+\cdots =1-j\Delta \phi }$

すると

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}&\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-(1-j\Delta \phi )|^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \Delta \phi ^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \left({\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}\right)^{2}\\&=P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}\end{aligned}}}$

となることによって

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}}$

そして経路損失は

${\displaystyle PL={\frac {P_{t}}{P_{r}}}={\frac {d^{4}}{Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}}}$

これは遠距離場、すなわち（角度は度ではなくラジアンで測定される）または同等の場合には正確である。 ${\displaystyle \Delta \phi \ll 1}$

${\displaystyle d\gg {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda }}}$

ここで、合成アンテナ利得は送信アンテナ利得と受信アンテナ利得の積である。この式はBA Vvedenskijによって初めて導き出された。^[3]${\displaystyle G=G_{t}G_{r}}$

遠距離場における電力は距離の 4 乗に反比例して減少することに注意してください。これは、大きさがほぼ同じで位相が 180 度異なる直接経路と反射経路の破壊的な組み合わせによって説明されます。は「有効等方放射電力」(EIRP) と呼ばれ、送信アンテナが等方性である場合に同じ受信電力を生成するために必要な送信電力です。 ${\displaystyle G_{t}P_{t}}$

対数単位：${\displaystyle P_{r_{\text{dBm}}}=P_{t_{\text{dBm}}}+10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})-40\log _{10}(d)}$

パス損失:${\displaystyle PL\;=P_{t_{\text{dBm}}}-P_{r_{\text{dBm}}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

アンテナ間の距離が送信アンテナの高さよりも短い場合、2 つの波が建設的に加算され、より大きな電力が生成されます。距離が長くなると、これらの波は建設的および破壊的に加算され、アップフェードとダウンフェードの領域が生じます。距離が臨界距離または最初のフレネルゾーンを超えて長くなると、電力は の 4 乗の逆数に比例して低下します。臨界距離の近似値は、Δφ を極大値への臨界距離として π に設定することで取得できます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle dc}$${\displaystyle d}$

上記の近似は という条件で有効ですが、多くのシナリオでは当てはまらない場合があります。たとえば、アンテナの高さが距離に比べてそれほど小さくない場合や、地面を理想的な平面 としてモデル化できない場合などです。この場合、 を使用することはできず、より洗練された解析が必要です。たとえば、^{[4] [5]を参照してください。}${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$${\displaystyle \Gamma \approx -1}$

上記の大きなアンテナ高の拡張は、UAV、ドローン、高高度プラットフォームなどの空中通信ノードの場合のように、地上から空中への伝搬チャネルをモデル化するために使用できます。空中ノードの高度が中程度から高い場合、関係はもはや成立せず、クリアランス角は小さくなく、結果として どちらも成立しません。これは、伝搬経路損失と典型的なフェージング深度、および信頼性の高い通信（低い切断確率）に必要なフェージングマージンに大きな影響を与えます。^{[4] [5]}${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$${\displaystyle \Gamma \approx -1}$

対数距離経路損失モデルの標準的な表現は[dB]で表すと次のようになる。

${\displaystyle PL\;=P_{T_{dBm}}-P_{R_{dBm}}\;=\;PL_{0}\;+\;10\nu \;\log _{10}{\frac {d}{d_{0}}}\;+\;X_{g},}$

ここで、 は大規模（対数正規）フェージング、 は経路損失が である基準距離 、は経路損失指数で、通常は です 。^{[1] [2]}このモデルは特に測定に適しており、 およびは 実験的に決定されます。は測定の利便性と明確な見通しを得るために選択されます。 このモデルは、5G および 6G システムの有力候補でもあり^{[6] [7]} 、屋内通信にも使用されます（例^[8] およびその中の参考文献を参照）。 ${\displaystyle X_{g}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle PL_{0}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu =2...4}$${\displaystyle PL_{0}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle d_{0}}$

2レイモデルのパス損失[dB]は、次のように特別なケースになります 。 ${\displaystyle \nu =4}$

${\displaystyle PL\;=P_{t_{dBm}}-P_{r_{dBm}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

ここで 、、、および ${\displaystyle d_{0}=1}$${\displaystyle X_{g}=0}$

${\displaystyle PL_{0}=-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$、

これは遠方場、つまり臨界距離に有効です。 ${\displaystyle d>d_{c}=4\pi h_{r}h_{t}/\lambda }$

2レイの地面反射モデルは、臨界距離でブレークポイントを持つマルチスロープモデルのケースとして考えることができます。臨界距離前は20dB/decadeの傾斜、臨界距離後は40dB/decadeの傾斜です。上記の自由空間と2レイモデルを使用すると、伝搬経路損失は次のように表すことができます。

${\displaystyle L=\max\{G,L_{min},L_{FS},L_{2-ray}\}}$

ここで 、 およびは自由空間および 2 レイ経路損失です。は最小経路損失 (最短距離) で、通常はdB 程度です。 および は エネルギー保存則にも従うことに注意してください (Rx 電力は Tx 電力を超えることはできないため)。したがって、 が十分に小さい場合、 と はどちらも成り立ちません。このことを、短距離でこれらの近似値を使用する場合は念頭に置く必要があります (この制限を無視すると、不合理な結果が生じることがあります)。 ${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$${\displaystyle L_{min}}$${\displaystyle L_{min}\approx 20}$${\displaystyle L\geq G}$${\displaystyle L\geq 1}$${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$${\displaystyle d}$

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• S. Salous、「無線伝搬測定とチャネルモデリング」、Wiley、2013 年。
• JS Seybold、「RF 伝播入門」、Wiley、2005 年。
• K. Siwiak、「個人通信のための電波伝搬とアンテナ」、Artech House、1998 年。
• MP・ドルハノフ著『電波伝搬』モスクワ：スヴィアズ、1972年。
• VV Nikolskij、TI Nikolskaja、電気力学と電波伝播、モスクワ：ナウカ、1989 年。
• 3GPP TR 38.901、0.5～100GHzの周波数のチャネルモデルに関する研究（リリース16）、ソフィアアンティポリス、フランス、2019年 [2]
• ITU-R勧告P.1238-8: 300MHzから100GHzの周波数範囲における屋内無線通信システムおよび無線ローカルエリアネットワークの計画のための伝搬データと予測方法[3]
• S. Loyka、ELG4179：無線通信の基礎、講義ノート（講義2-4）、オタワ大学、カナダ、2021年 [4]