テューキーの範囲テスト

テューキーの範囲検定は、テューキー検定、テューキー法、テューキーの正直有意差検定、またはテューキーのHSD（正直有意差）検定とも呼ばれ、^[1] 単一ステップの多重比較手順および統計検定です。極端な値のために比較のために選択された平均値間の差の統計 的有意性を正しく解釈するために使用できます。

この方法は、もともとジョン・テューキーが分散分析(ANOVA)で使用するために開発、導入したもので、通常は ANOVA に関連してのみ教えられてきました。しかし、テューキーの検定で考慮される差の有意水準を決定するために使用されるスチューデント化範囲分布には、はるかに幅広い用途があります。これは、収集したデータからグループ間の顕著な差を検索したが、発見した顕著な差がどの程度有意であるかを、従来の統計検定で使用される標準の統計分布 (データはランダムに選択されている必要があります) では有効に判断できない研究者に役立ちます。目立つデータを比較する場合、定義上ランダムに選択されたのではなく、極端であるという理由で特に選択されたものであるため、スチューデント化範囲の頻度とサイズによって提供される異なる厳密な解釈が必要です。「データ マイニング」という現代の実践は、これが使用されている例です。

この検定はジョン・テューキーにちなんで名付けられ、^[2] あらゆる可能な平均値のペアを比較し、スチューデント化された範囲分布( q ) に基づいています (この分布はt検定のtの分布に似ています。下記を参照してください)。^{[3] [全文引用が必要]}

テューキー検定は、すべての処理の平均を他のすべての処理の平均と比較します。つまり、すべての一対比較の集合に同時に適用されます。

${\displaystyle \mu _{i}-\mu _{j}\ ,}$

は、期待される標準誤差より大きい 2 つの平均値の差を特定します。すべてのサンプル サイズが等しい場合、 セットの信頼係数は、任意のに対して になります。サンプル サイズが等しくない場合、信頼係数は よりも大きくなります。言い換えると、Tukey 法は、サンプル サイズが等しくない場合に保守的になります。 ${\displaystyle \ 1-\alpha \ }$${\displaystyle \\alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.}$${\displaystyle \ 1-\alpha ~.}$

このテストの後には、統計学者以外の対象者にとってこのテストの出力がよりわかりやすくなるように、 Compact Letter Display (CLD)統計手順が続くことがよくあります。

1. テストされる観察結果はグループ内およびグループ間で独立しています。 ^[要出典]
2. テストの各平均値に関連付けられたサブグループは正規分布しています。^[要出典]
3. 検定の各平均値に関連するサブグループ間では、サブグループ内分散が等しい（分散の等質性）。^[要出典]

Tukey の検定は、 t検定と非常によく似た式に基づいています。実際、Tukey の検定は、ファミリーワイズ誤差率を修正することを除いて、本質的にはt検定です。

テューキー検定の式は

${\displaystyle q_{\mathsf {s}}={\frac {\ \left|Y_{\mathsf {A}}-Y_{\mathsf {B}}\right|\ }{\ {\mathsf {SE}}\ }}\ ,}$

ここで、Y _AとY _{B は}比較される 2 つの平均値であり、 SE は平均値の合計に対する標準誤差です。 値q _{s は}サンプルの検定統計量です。 (表記| x | はxの絶対値、つまりxの元の符号に関係なく、符号が+に設定されたxの大きさを意味します。)

このq _{s検定統計量は、}スチューデント化された範囲分布の表から選択された有意水準αのq値と比較することができる。q s値が分布から得られた臨界値q _αよりも大きい場合、2つの平均は水準^[3]で有意に異なると言われる。${\displaystyle \\alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.}$

Tukey の検定の帰無仮説では、比較されるすべての平均値は同じ母集団からのものである (つまり、μ ₁ = μ ₂ = μ ₃ = ... = μ _k ) とされているので、平均値は、すべてのサンプルに対して、マージされた標準誤差によって推定される同じモデル標準偏差σで正規分布している必要があります (中心極限定理による) 。その計算については、次のセクションで説明します。これにより、Tukey の検定の正規性仮定が生じます。 ${\displaystyle \ {\mathsf {SE}}\ ,}$

Tukey 法では、スチューデント化された範囲分布を使用します。同じ正規分布N ( μ , σ ² )を持つk 個の母集団のそれぞれからサイズnのサンプルを取得し、 がこれらのサンプル平均の最小値で が最大値であり、S ^{2がこれらのサンプルから}プールされたサンプル分散であるとします。次のランダム変数はスチューデント化された範囲分布を持ちます。 ${\displaystyle \ {\bar {y}}_{\mathsf {min}}\ }$${\displaystyle \ {\bar {y}}_{\mathsf {max}}\ }$

${\displaystyle q\equiv {\frac {\ {\overline {y}}_{\mathsf {max}}-{\overline {y}}_{\mathsf {min}}\ }{\ S{\sqrt {2/n}}\ }}}$

上記の統計量 qの定義は、以下で説明するq _α の極めて重要な値の基礎であり、次の 3 つの要因に基づいています。

${\displaystyle \\alpha ~\quad}$タイプI の誤り率、つまり真の帰無仮説を棄却する確率。

${\displaystyle \ k~\quad }$ 比較対象となるサブ集団の数。

${\displaystyle \ {\mathsf {df}}\quad }$各平均の自由度の数

( df = N − k ) ここで、Nは観測値の総数です。

qの分布は表にまとめられており、統計学の多くの教科書に掲載されています。一部の表では、qの分布は係数なしで表にまとめられています。どの表であるかを理解するには、 k = 2の結果を計算し、同じ自由度と同じα を持つスチューデントの t 分布の結果と比較します。 さらに、R はqの累積分布関数( ) と分位関数( )を提供します。${\displaystyle \ {\sqrt {2\}}\ }$ ptukeyqtukey

信頼係数が少なくとも1 − αであるすべての一対比較のTukey信頼限界  は、 

${\displaystyle {\bar {y}}_{i\bullet }-{\bar {y}}_{j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \ ;\ k\ ;\ Nk}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {{\frac {2}{n}}\ }}\quad :\quad i,\ j=1,\ldots ,k\quad i\neq j~.}$

点推定値と推定分散は、単一のペア比較の場合と同じであることに注意してください。同時比較の信頼限界と単一の比較の信頼限界の唯一の違いは、推定標準偏差の倍数です。

また、スチューデント化範囲アプローチを使用する場合は、サンプル サイズが等しくなければならないことにも注意してください。は、比較する 2 つのグループの標準偏差だけではなく、デザイン全体の標準偏差です。サンプル サイズが等しくない場合でも作業は可能です。この場合、1956 年に Clyde Kramer によって形式化された各ペア比較の推定標準偏差を計算する必要があります。そのため、サンプル サイズが等しくない場合の手順は、Tukey-Kramer 法と呼ばれることがあります。これは次のようになります。 ${\displaystyle \ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ }$

${\displaystyle {\bar {y}}_{i\bullet }-{\bar {y}}_{j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \ ;\ k\ ;\ Nk}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {\ {\frac {\ 1\ }{n_{i}}}\ +\ {\frac {\ 1\ }{n_{j}}}\ }}\ }$

ここで、n _i とn _{j は} それぞれグループiとjのサイズです。全体の設計の自由度も適用されます。

ANOVA と Tukey–Kramer 検定はどちらも同じ仮定に基づいています。ただし、kグループ (つまり、μ ₁ = μ ₂ = ... = μ _k ) に対するこれら 2 つの検定では、仮定が成り立っていても、k > 2の場合には論理矛盾が生じる可能性があります。

厳密に負の尺度の擬似ランダムサンプルのセットを生成することが可能であり、仮説μ ₁ = μ ₂は有意水準で棄却されるが、μ ₁ = μ ₂ = μ _3は有意水準でも棄却されない。^[4] ${\displaystyle \ 1-\alpha >0.95\ }$ ${\displaystyle \ 1-\alpha =0.975~.}$

• 家族全体のエラー率
• ニューマン・クールズ法

• Montgomery, Douglas C. (2013).実験のデザインと分析(第 8 版). Wiley. セクション 3.5.7.

• 「Tukey 法」。統計手法の電子ハンドブック。itl.nist.gov/div898 /handbook。SEMATECH。米国国立標準技術研究所/ 米国商務省。