ツィレルソンの確率微分方程式

ツィレルソンの確率微分方程式（ツィレルソンのドリフトまたはツィレルソン方程式とも呼ばれる）は、弱解は存在するが強解は存在しない確率微分方程式である。したがって反例であり、発見者であるボリス・ツィレルソンにちなんで名付けられた。^[1]ツィレルソン方程式は次のような形式である。

${\displaystyle dX_{t}=a[t,(X_{s},s\leq t)]dt+dW_{t},\quad X_{0}=0,}$

ここで、 は1 次元のブラウン運動です。Tsirelson は、ドリフトを、 の過去の時間に依存するがブラウン運動の自然な濾過とは無関係な、有界測定可能な関数として選択しました。これにより弱い解が得られますが、プロセスは-測定可能ではないため、強い解にはなりません。 ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{W}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }^{W}}$

させて

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s}:0\leq s\leq t)}$通常の条件を満たす自然なブラウン運動の濾過である。${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$
• ${\displaystyle t_{0}=1}$および降順で、${\displaystyle (t_{n})_{n\in -\mathbb {N}}}$${\displaystyle t_{0}>t_{-1}>t_{-2}>\dots ,}$${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }t_{n}=0}$
• ${\displaystyle \Delta X_{t_{n}}=X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$そして、${\displaystyle \Delta t_{n}=t_{n}-t_{n-1}}$
• ${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$小数点部分になります。

ツィレルソンは次のように定義した。

${\displaystyle a[t,(X_{s},s\leq t)]=\sum \limits _{n\in -\mathbb {N} }{\bigg \{}{\frac {\Delta X_{t_{n}}}{\Delta t_{n}}}{\bigg \}}1_{(t_{n},t_{n+1}]}(t).}$

表現してみましょう

${\displaystyle \eta _{n}=\xi _{n}+\{\eta _{n-1}\}}$

の略語である

${\displaystyle {\frac {\Delta X_{t_{n+1}}}{\Delta t_{n+1}}}={\frac {\Delta W_{t_{n+1}}}{\Delta t_{n+1}}}+{\bigg \{}{\frac {\Delta X_{t_{n}}}{\Delta t_{n}}}{\bigg \}}.}$

Tsirelson とYorの定理によると、次のようになります。

1) 自然濾過は次のような分解を示す ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}={\mathcal {F}}_{t}^{W}\vee \sigma {\big (}\{\eta _{n-1}\}{\big )},\quad \forall t\geq 0,\quad \forall t_{n}\leq t}$

2) それぞれについて、は に均一に分布し、とは独立しています。${\displaystyle n\in -\mathbb {N} }$${\displaystyle \{\eta _{n}\}}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }^{W}}$

3)は-自明なσ-代数、すなわちすべての事象は確率または を持つ。^{[2] [3]}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0+}^{X}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

• Rogers, LCG; Williams, David (2000)。拡散、マルコフ過程、マルチンゲール：第2巻、伊藤微積分学。イギリス：ケンブリッジ大学出版局。pp. 155–156。