モナス

数学において、モノスは、群ではない特定の可換 モノイド上の演算子です。モノス演算子が定義されている可換モノイドは、モノスを持つ可換モノイド、またはCMMと呼ばれます。自然数は減算の下で CMM であるため、モノス演算子は-記号で表記される場合があります。また、標準的な減算演算子と区別するために、記号 で表記されることもあります。${\displaystyle \mathop {\dot {-}} }$

を可換モノイドとします。このモノイド上の二項関係を次のように定義します。任意の 2 つの要素 および に対して、 となる要素が存在するかどうかを と定義します。 が反射的[ 2 ]であり^、推移的であることは簡単に確認できます。^[3]関係がさらに反対称で、したがって半順序 である場合、は自然順序付けされていると呼ばれます。さらに、要素 および の各ペアに対して、となる一意の最小要素が存在する場合、M はモノスを持つ可換モノイドと呼ばれます^{[4] : 129。}任意の 2 つの要素およびのモノスは、となる一意の最小要素として定義できます。 ${\displaystyle (M,+,0)}$ ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle \leq}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq b+c}$ ${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq b+c}$

自然に順序付けられていない可換モノイドの例としては、通常の加算を伴う整数の可換モノイド がある。任意の に対して となるようなが存在するので、任意の に対して が成り立つので、 は半順序ではない。自然に順序付けられているが、モノスを伴う半環ではないモノイドの例もある。^[5]${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+c=b}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \leq}$

モノイド以外にも、モノスの概念は他の構造にも適用できます。例えば、自然に順序付けられた半環（時にはダイオイド^[6]と呼ばれる）は、加算演算子によって誘導される可換モノイドが自然に順序付けられている半環です。このモノイドがモノスを持つ可換モノイドである場合、半環はモノスを持つ半環、またはm半環と呼ばれます。

Mがブール代数におけるイデアルである場合、Mはおよびの下でモノスを持つ可換モノイドである。^{[4] ：129}${\displaystyle a+b=a\vee b}$${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b=a\wedge \neg b}$

0を含む自然数はモノウスと可換モノイドを形成し、その順序は通常の自然数の順序であり、モノウス演算子は標準的な減算の飽和変形であり、切り捨て減算、^[7]、 限定減算、適切な減算、doz（差またはゼロ）、^[8]、およびモノウス^[9]などと呼ばれる。切り捨て減算は通常次のように定義される^[7]。

${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a<b\\ab&{\mbox{if }}a\geq b,\end{cases}}}$

ここで、− は標準減算を表す。例えば、通常の減算では 5 − 3 = 2 および 3 − 5 = −2 であるが、切り捨て減算では 3 ∸ 5 = 0 である。切り捨て減算は次のように定義されることもある^[9]

${\displaystyle a\mathop {\dot {-}} b=\max(ab,0).}$

ペアノ算術では、切り捨て減算は前関数P （後関数の逆関数）に基づいて定義される。^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathop {\dot {-}} 0&=a\\a\mathop {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathop {\dot {-}} b).\end{aligned}}}$

先行関数を必要としない定義は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}a\mathop {\dot {-}} 0&=a\\0\mathop {\dot {-}} b&=0\\S(a)\mathop {\dot {-}} S(b)&=a\mathop {\dot {-}} b.\end{aligned}}}$

切り捨て減算は、負の数に対して定義されていない原始再帰関数などのコンテキストで役立ちます。 ^{[7]切り捨て減算は、}多重集合の 差分演算子の定義でも使用されます。

モノスを持つすべての可換モノイドのクラスは多様体を形成する。^{[4] : 129}すべてのCMMの多様体の等式基底は、可換モノイドの公理と、以下の公理から構成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a+(b\mathop {\dot {-}} a)&=b+(a\mathop {\dot {-}} b),\\(a\mathop {\dot {-}} b)\mathop {\dot {-}} c&=a\mathop {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathop {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathop {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}}$