旅行の配分

旅行分布（または目的地選択またはゾーンインターチェンジ分析）は、従来の4段階の交通予測モデルにおける2番目の要素（旅行生成の後、モード選択とルート割り当ての前）です。このステップでは、旅行者の出発地と目的地を一致させて「旅行表」を作成します。これは、各出発地から各目的地への旅行数を表示するマトリックスです。^{[1]歴史的に、この要素は}交通計画モデルの中で最も開発が遅れている要素でした。

ここで、T _ij = 出発地iから目的地jへの移動。ゾーン内移動は発生しないため、対角線上の移動、たとえばゾーン 1 からゾーン 1 への移動の実際の値はゼロになることに注意してください。  

仕事での旅行分布は、旅行需要モデルが人々が仕事に就く方法を理解する方法です。食料品の買い物場所の選択など、他の（仕事以外の）活動のための旅行分布モデルもあり、同じ構造に従います。

長年にわたり、モデル作成者は旅行分布のさまざまな定式化を使用してきました。最初のモデルは、Fratar または Growth モデル (旅行を目的別に区別しない) でした。この構造は、成長に基づいてベース年の旅行表を将来に外挿しましたが、供給の増加や旅行パターンや混雑の変化による空間のアクセシビリティの変化は考慮していませんでした。(単純な成長係数モデル、Furness モデル、および Detroit モデルは、同じ時期に開発されたモデルです)

次に開発されたモデルは、重力モデルと介入機会モデルでした。最も広く使用されている定式化は、今でも重力モデルです。

アラン・ボーヒーズは、 メリーランド州ボルチモアの交通を調査していたときに、土地利用に基づいて交通パターンを予測する数式を開発しました。この数式は、世界中の数多くの交通機関や公共事業の設計に役立っています。彼は「交通移動の一般理論」(ボーヒーズ、1956 年) を執筆し、重力モデルを移動分布に適用しました。このモデルでは、あるエリアで発生した移動を、各出発地から各目的地への移動回数を識別するマトリックスに変換し、それをネットワークにロードできます。

1960 年代にいくつかのモデル形式が評価され、「重力モデルと介在機会モデルは、ワシントン DC の 1948 年と 1955 年の旅行分布をシミュレートする上で、ほぼ同等の信頼性と有用性を示した」という結論が出ました (Heanue と Pyers、1966)。Fratar モデルは、土地利用の変化が起こっている地域では弱点があることが判明しました。モデルの比較により、どちらのモデルも、計算が容易なため、観測された条件に合わせて同様に調整できることがわかったため、重力モデルは介在機会モデルよりも広く普及しました。介在機会モデルの理論上の問題のいくつかは、Whitaker と West (1968) によって議論されました。このモデルでは、ゾーン内で発生するすべての旅行を考慮できないため調整が難しくなるという問題ですが、Ruiter (1967) によってその制限に対処する手法が開発されました。

ロジットやその他の離散選択手法の開発により、人口統計学的に細分化された新しい旅行需要のアプローチが試みられました。旅行の確率を決定する際に旅行時間以外の変数を含めることで、旅行行動の予測精度が向上することが期待されます。ロジット モデルと重力モデルは、統計力学で使用されるエントロピー最大化モデルと本質的に同じ形式であることが Wilson (1967) によって示されました。これらのモデルの適用は、重力モデルが旅行の確率を決定する際に、おそらく社会経済的変数によって階層化された旅行時間によるインピーダンスを使用するのに対し、離散選択アプローチではそれらの変数を効用関数またはインピーダンス関数内に取り込むという点で概念が異なります。離散選択モデルでは、推定に多くの情報が必要であり、計算時間も長くなります。

Ben-Akiva と Lerman (1985) は、通勤および非通勤旅行についてロジット定式化を使用して、目的地選択とモード選択の組み合わせモデルを開発しました。計算集約性のため、これらの定式化では、推定時に交通ゾーンをより大きな地区またはリングに集約する傾向がありました。現在のアプリケーションでは、オレゴン州ポートランドで使用されている交通計画モデルなど、一部のモデルでは、目的地選択にロジット定式化を使用しています。Allen (1984) は、ロジットベースのモード選択モデルの効用を使用して、旅行分布の複合インピーダンスを決定しました。ただし、モード選択の対数和を使用するこのアプローチでは、目的地選択がモード選択と同じ変数に依存することになります。Levinson と Kumar (1995) は、モード選択確率を重み付け係数として使用し、通勤および非通勤旅行の目的で各モードに特定のインピーダンス関数または「f 曲線」を開発しました。

交通計画プロセスのこの時点では、ゾーン インターチェンジ分析の情報が起点-終点テーブルにまとめられています。左側には各ゾーンで発生した旅行がリストされています。上部にはゾーンがリストされ、各ゾーンの魅力がリストされています。テーブルはn x nで、n はゾーンの数です。

表の各セルには、ゾーンiからゾーンjへの移動回数が含まれます。行と列の合計はありますが、セル内の数値はまだありません。このようにデータが整理されているので、 t  = 1 からt  =  nまでの表のセルに入力するのが私たちの仕事です。

実際、家庭インタビュー旅行調査データとアトラクション分析から、 t = 1のセル情報が得られます。 データはサンプルなので、サンプルをユニバースに一般化します。ゾーン交換分析に使用される手法は、t = 1 データに適合する経験則を探ります。次に、そのルールを使用して、 t = 2、t = 3、t = 4 など、t = nまでのセルデータを生成します。

ゾーン交換をモデル化するために開発された最初の手法は、次のようなモデルです。

${\displaystyle T_{ij}=T_{i}{\frac {A_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j'=1}^{n}{A_{j'}f\left({C_{ij'}}\right)K_{ij'}}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle T_{ij}}$ : i から j への移動。
• ${\displaystyle T_{i}}$ : 世代分析によると、iからの旅行
• ${\displaystyle A_{j}}$ : 世代分析によると、Jに惹かれる旅行
• ${\displaystyle f(C_{ij})}$ : 旅行コスト摩擦係数、例えば =${\displaystyle C_{ij}^{b}}$
• ${\displaystyle K_{ij}}$ : キャリブレーションパラメータ

ゾーンi ではT _i回の移動が発生しますが、そのうち何人がゾーンjに行くでしょうか。これは、すべての場所の魅力と比較したjの魅力度によって決まります。魅力度は、 _{ゾーンとゾーン}iの距離によって調整されます。jとすべての場所との比較の割合を計算し、それをT _iに掛けます。  

この規則は多くの場合、重力形式です。

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle P_{i};P_{j}}$ : i と jの人口
• ${\displaystyle a;b}$ : パラメータ

しかし、ゾーン交換モードでは、人口ではなく、 旅行の出発地 ( T  _{; i} ) と旅行の目的地 ( T  _{; j ) に関連する数値を使用します。}

重みと特別なキャリブレーションパラメータを使用することがあるため、モデル形式は多数存在します。たとえば、次のように記述できます。

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}}$

または

${\displaystyle T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

どこ：

• a、b、c、dはパラメータです
• ${\displaystyle C_{ij}}$ : 旅行費用（距離、お金、時間など）
• ${\displaystyle T_{j}}$ : 入国旅行、目的地
• ${\displaystyle T_{i}}$ : 出発地、出発地

重力モデルは、場所（自宅と職場など）間のマクロな関係を示します。2 つの場所の間の相互作用は、それらの間の距離、時間、およびコストの増加に伴って減少しますが、各場所での活動量とは正の相関関係にあると長い間主張されてきました (Isard、1956)。物理学との類似性から、Reilly (1929) は小売業の重力に関する Reilly の法則を定式化し、JQ Stewart (1948) は現在アクセシビリティと呼ばれる人口の重力、力、エネルギー、および潜在性の定義を定式化しました (Hansen、1959)。距離減衰係数 1/距離は、一般化コストのより包括的な関数に更新されましたが、これは必ずしも線形ではなく、負の指数関数が好まれる傾向があります。

重力モデルは、基礎となる集合的関係として何度も実証されています (Scott 1988、Cervero 1989、Levinson と Kumar 1995)。相互作用の減少率 (インピーダンスまたは摩擦係数、あるいは効用関数または傾向関数とも呼ばれます) は経験的に測定する必要があり、状況によって異なります。

重力モデルの有用性を制限するのは、その集計的な性質です。政策は集計レベルでも機能しますが、より正確な分析では、可能な限り最も詳細なレベルの情報が保持されます。重力モデルは多数の個人の選択を説明するのに非常に優れていますが、特定の個人の選択は予測値から大きく異なります。都市の交通需要のコンテキストに適用される場合、不効用は主に時間、距離、およびコストですが、より広範な効用式を適用した離散選択モデルが使用されることもあります。また、収入や車両の所有による階層化も使用されます。

数学的には、重力モデルは多くの場合、次の形式をとります。

${\displaystyle T_{ij}=K_{i}K_{j}T_{i}T_{j}f(C_{ij})}$

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}},\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sum _{j}{K_{j}T_{j}f(C_{ij})}}},K_{j}={\frac {1}{\sum _{i}{K_{i}T_{i}f(C_{ij})}}}}$

どこ

• ${\displaystyle T_{ij}}$= 出発地iと目的地jの間の移動
• ${\displaystyle T_{i}}$= iを起点とする旅行
• ${\displaystyle T_{j}}$= j行きの旅行
• ${\displaystyle C_{ij}}$= iとjの間の移動コスト
• ${\displaystyle K_{i},K_{j}}$= 反復的に解決されるバランス係数。反復比例フィッティングを参照してください。
• ${\displaystyle f}$= アクセシビリティモデルにおける距離減衰係数

これは二重の制約があり、任意のiについて、モデルによって予測されるiからの移動の合計回数は、常に（機械的には、任意のパラメータ値について） iからの移動の実際の合計回数に等しくなります。同様に、モデルによって予測されるjへの移動の合計回数は、任意のjについて、jへの移動の実際の合計回数に等しくなります。

ウィルソン (1970) は、ゾーン交換問題について考える別の方法を示しています。このセクションでは、ウィルソンの方法論を取り上げ、中心的な考え方を理解してもらいます。

まず、出発地ゾーンに 7 人の人がいて、目的地ゾーンの 7 つの職場に通勤する旅行について考えてみましょう。このような旅行の構成は次のようになります。

${\displaystyle w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260}$

ここで 0! = 1 です。

この配置は 1,260 通りの可能性があります。私たちは、この移動の配置が発生する可能性のある方法の数を計算しました。この計算を説明するために、初等統計学でよく取り上げられるコイン投げの実験を思い出してみましょう。

両面コインの出る回数は で、n はコインを投げる回数です。コインを 1 回投げると、表か裏が出る可能性があり、です。コインを 2 回投げると、HH、HT、TH、TT の 4 通りの出る可能性があり、 です。たとえば、4 枚のコインがすべて表になるかどうかという具体的な質問をするには、 を計算します。表が 2 回、裏が 2 回の場合は です。次の方程式を解きます。 ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{1}=2}$${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle 4!/(4!0!)=1}$${\displaystyle 4!/(2!2!)=6}$

${\displaystyle w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}}$

重要な点は、 nが大きくなるにつれて、分布はますます尖鋭化し、最も可能性の高い状態を考えることがますます合理的になるということです。

しかし、最も可能性の高い状態という概念は、この考え方から生まれたものではなく、ウィルソンにはよく知られていたが、輸送計画者にはあまり知られていない分野である統計力学から生まれたものです。統計力学の結果、降順の系列が最も可能性が高いということになります。教室の照明のエネルギーが教室の空気にどのように影響するかを考えてみましょう。その影響が上昇系列になった場合、多くの原子と分子が大きく影響を受け、少数は少ししか影響を受けません。下降系列では、ほとんどまたはまったく影響を受けないものが多く、非常に影響を受けるものは少数だけになります。与えられたエネルギー レベルを取り、上昇系列と下降系列の励起レベルを計算できます。上記の式を使用して、特定の系列が発生する方法を計算し、下降系列が​​優勢であると結論付けます。

それはボルツマンの法則のようなもので、

${\displaystyle p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}}$

つまり、任意の特定の励起レベルjにある粒子は、基底状態の粒子、励起レベル、およびシステム内の粒子が利用できる（平均）エネルギーの関数である パラメータの負の指数関数になります。${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle \beta}$

上記の 2 つの段落は、ギブスが開発したアンサンブル計算法に関するもので、このメモの範囲をはるかに超えるトピックです。

OD マトリックスに戻ると、O および D 調査や旅行生成に関する以前の研究から得られるほど多くの情報は使用していないことに注意してください。以前使用した OD マトリックスの同じ旅行パターンでは、行と列の合計は次のようになります。

4 人の場合、4!/(2!1!1!) = 12 となり、3 人の場合、3!/(0!2!1!) = 3 となります。すべての移動は 12×3 = 36 通りの組み合わせが可能です。したがって、移動の可能な構成は、列と行の合計によって大幅に制限されることがわかります。

この点を、以前の研究とマトリックスと最も可能性の高い状態の概念と組み合わせると、

${\displaystyle \max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{T_{ij}!}}}}$

対象となる

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

どこ：

${\displaystyle T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}}$

これが上で解決した問題です。

ウィルソンはもう一つの考慮点を加えている。彼はシステムを利用可能なエネルギーの量（つまりお金）に制限し、さらに次のような制約を加える。

${\displaystyle \sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}}$

ここで、C は利用可能なリソースの量であり、 はiからjへの移動コストです。 ${\displaystyle C_{ij}}$

これまでの議論にはウィルソンの著作の中心的な考え方が含まれていますが、読者がウィルソンによって定式化されたモデルを認識できるところまではまだ至っていません。

まず、ラグランジュ乗数を使用して最大化される関数を記述すると、次のようになります。 ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}}$

ここで 、およびはエネルギーの意味を持つ ラグランジュ乗数です。${\displaystyle \lambda _{i},\lambda _{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

2番目に、 ではなく自然対数(ln)を最大化すると便利です 。そうすれば、スターリングの近似 を使用できるからです。 ${\displaystyle w(T_{ij})}$

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

それで

${\displaystyle {\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N}$

3番目に、最大値を評価すると、

${\displaystyle {\frac {\partial \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0}$

解決策あり

${\displaystyle \ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}$

最後に、この値を 制約式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle T_{ij}}$

${\displaystyle \sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{i};\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{j}}$

そして、和の記号の外側の定数倍を取ると

${\displaystyle e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}}$

させて

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{j}}}=B_{j}}$

我々は持っています

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}}$

これは、最も可能性の高い旅行の分布が重力モデル形式を持ち、旅行の出発地と目的地に比例することを示しています。定数、、により、制約が満たされることが保証されます。 ${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

さて、計算に移ると、大きな問題があります。まず、 Cの値がわかりません。これは、先ほど述べたように、利用可能な資金と関係があり、コスト制約でした。したがって、 をさまざまな値に設定してから、およびの最適な値のセットを見つける必要があります。 が何を意味するかはわかっています。の値が大きいほど、平均移動距離のコストは少なくなります。(前述のボルツマンの法則と比較してください。) 次に、 と の値は互いに依存しています。したがって、 の各値に対して、反復解を使用する必要があります。これを行うためのコンピュータ プログラムがあります。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

ウィルソン法はローリーモデルに適用されている。

多くの初期のモデルを適用する際の大きな欠点の 1 つは、2 つの場所間の移動の確率を決定する際に、道路網の混雑した移動時間を考慮に入れることができなかったことです。Wohl は 1963 年に早くもフィードバック メカニズム、つまり「割り当てまたは分配された量、移動時間 (または移動の「抵抗」)、およびルートまたはシステムの容量間の相互依存性」に関する研究を指摘していましたが、この研究は、厳密な収束テストや、いわゆる「均衡」または「組み合わせ」ソリューション (Boyce ら、1994 年) を伴って、まだ広く採用されていません。Haney (1972 年) は、需要を開発するために使用される移動時間に関する内部仮定は、その需要のルート割り当ての出力移動時間と一致する必要があることを示唆しています。方法論上の小さな矛盾は、基準年の状況を推定する際に必然的に問題になりますが、供給と需要の間のフィードバックを理解しなければ、予測はさらに不安定になります。当初ヒューリスティックな手法はアーウィンとフォン・キューブ^[2]らによって開発され、後にスザンヌ・エヴァンス^{[3]によって正式な数理計画法の手法が確立されました。}

フィードバックを分析する上で重要な点は、以前の研究^[4]で、ワシントン首都圏では世帯収入、土地利用パターン、家族構成、労働力参加率に大きな変化があったにもかかわらず、通勤時間は過去30年間安定していたという結果である。同様の結果はツインシティーズでも見られた^{[5] 。}

過去 30 年間^{[いつからか]にわたる旅行時間と分布曲線の安定性は、比較的長期的な予測に集計旅行分布モデルを適用するための優れた基礎となります。これは、一定の}旅行時間予算が存在することを示唆するものではありません。

• 航空の環境への影響
• 過可動性（旅行）

• アレン、B. 1984 複合インピーダンスを用いた旅行分布 交通研究記録 944 pp. 118–127
• Ben-Akiva M. および Lerman S. 1985 離散選択分析、MIT 出版、マサチューセッツ州ケンブリッジ
• Boyce, D.、Lupa, M.、Zhang, YF 1994 4段階の旅行予測手順への「フィードバック」の導入と、複合モデルの均衡解の比較、第73回交通研究委員会年次会議で発表

• ヘイニー、D. 1972 交通需要と評価モデルの一貫性、ハイウェイ研究記録 392、pp. 13–25 1972
• ハンセン、WG 1959.アクセシビリティが土地利用をどのように形作るか。アメリカプランナー協会誌、25(2)、73-76。
• Heanue, Kevin E. および Pyers, Clyde E. 1966. 旅行配分手順の比較評価、

• Levinson, D. および Kumar A. 1995.「マルチモーダル旅行分布モデル」交通研究記録 #1466: 124–131。
• ポートランド MPO による連邦交通局への交通モデリングに関する報告書
• ライリー、WJ（1929）「小売関係の研究方法」テキサス大学紀要第2944号、1929年11月。
• ライリー、WJ、1931年。「小売業の引力の法則」ニューヨーク。
• ルイター、E. 1967 機会モデルの理解、調整、適用の改善 高速道路研究記録 No. 165 pp. 1–21
• スチュワート、JQ（1948）「人口重力：証拠と応用」社会測定学第11巻1948年2月〜5月pp31〜58。
• スチュワート、JQ、1947年。人口の分布と均衡に関する経験的数学的規則、地理学評論、第37巻、461-486ページ。
• スチュワート、JQ、1950 年。「人口の潜在力とマーケティングとの関係」。R. コックスおよび W. アルダーソン編『マーケティングの理論』(リチャード D. アーウィン社、イリノイ州ホームウッド)。
• スチュワート、JQ、1950年。社会物理学の発展、アメリカ物理学誌、第18巻、239-253
• Voorhees, Alan M.、1956、「交通運動の一般理論」、1955 年議事録、交通技術者協会、コネチカット州ニューヘブン。
• ウィテカー、R. および K. ウェスト 1968 介入機会モデル: 理論的考察 ハイウェイ リサーチ レコード 250 pp. 1–7
• ウィルソン、AG 空間分布モデルの統計理論 交通研究、第1巻、pp. 253–269 1967
• ウォル、M. 1963 需要、コスト、価格、容量の関係を旅行予測に適用する。ハイウェイ研究記録 38:40–54
• ジップ、GK、1946年。「都市間の人々の移動に関する仮説」アメリカ社会学評論、第11巻、10月
• ジップ、GK、1949年。『人間の行動と最小努力の原理』マサチューセッツ州