オイラー・トリコミ方程式

数学において、オイラー・トリコミ方程式は遷音速流の研究に有用な線形 偏微分方程式である。数学者レオンハルト・オイラーとフランチェスコ・ジャコモ・トリコミにちなんで名付けられている。

${\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,}$

半平面x > 0では楕円形 、x  = 0では放物線形、半平面 x < 0では双曲形となる 。その特性は以下の通りである。

${\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,}$

積分値を持つ

${\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}$

ここで、C は積分定数です。したがって、特性は、直線x = 0 上に尖点があり、曲線がy軸の右側にある2 つの半三次放物線族で構成されます。

オイラー・トリコミ方程式の特殊解の一般的な表現は次のようになります。

${\displaystyle u_{k,p,q}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\frac {x^{m_{i}}y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,}$

どこ

${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p,q\in \{0,1\}}$

${\displaystyle m_{i}=3i+p}$

${\displaystyle n_{i}=2(ki)+q}$

${\displaystyle c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!}$

これらを線形に組み合わせると、次のようなさらなるソリューションを形成できます。

k = 0の場合:

${\displaystyle u=A+Bx+Cy+Dxy\,}$

k = 1の場合:

${\displaystyle u=A({\tfrac {1}{2}}y^{2}-{\tfrac {1}{6}}x^{3})+B({\tfrac {1}{2}}xy^{2}-{\tfrac {1}{12}}x^{4})+C({\tfrac {1}{6}}y^{3}-{\tfrac {1}{6}}x^{3}y)+D({\tfrac {1}{6}}xy^{3}-{\tfrac {1}{12}}x^{4}y)\,}$

等

オイラー・トリコミ方程式はチャプリギン方程式 の極限形式です。

• バーガース方程式
• チャプリギンの方程式

• AD Polyanin、「エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック」、Chapman & Hall/CRC Press、2002年。

• EqWorld: 数学方程式の世界におけるトリコミ方程式と一般化トリコミ方程式。