等角半径

数学において、共形半径は、単連結平面領域D をその中の点zから見たときの大きさを測定する方法です。ユークリッド距離(たとえば、中心zを持つ最大の内接円の半径)を使用する概念とは対照的に、この概念は複素解析、特に共形写像や共形幾何学で使用するのに適しています。

密接に関連する概念は、コンパクトな単連結集合Dの超限直径または（対数）容量であり、これは無限遠から見た補集合E = D ^cの共形半径の逆数として考えることができます。

単連結な領域D ⊂ Cと点z ∈ Dが与えられたとき、リーマン写像定理により、単位円板（通常は均一化写像と呼ばれる）への唯一の共形写像f  : D → Dが存在し、 f ( z ) = 0 ∈ Dかつf ′( z ) ∈ R ₊である。 zからのDの共形半径は次のように定義される 。

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}$

最も単純な例は、半径rの円板をその中心から見たときの共形半径もrであり、均一化マップx ↦ x / rで示されることです。その他の例については以下を参照してください。

この概念が有用な理由の1つは、共形写像の下でうまく動作するということです。つまり、 φ : D → D ′ が共形一対一であり、z がD内にある場合、 となります。 ${\displaystyle \operatorname {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\operatorname {rad} (z,D)}$

共形半径は として表すこともできます。ここで はからへの調和拡張です。 ${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$${\displaystyle \xi_{x}(y)}$${\displaystyle \log(|xy|)}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D}$

K ⊂ Hを上半平面の部分集合とし、D  := H \ Kが連結かつ単連結であるとする。また、z ∈ D を点とする。(これは、たとえばシュラム・レーヴナー展開における通常のシナリオである)。リーマン写像定理により、共形一対一写像g  : D → Hが存在する。すると、任意のそのような写像gに対して、簡単な計算で次の式が得られる。

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D)={\frac {2\operatorname {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}$

例えば、K = ∅ かつz = iのとき、g は恒等写像となり、 rad( i , H ) = 2 となる。これが元の定義と一致することを確認すると、均一化写像f  : H → Dは

${\displaystyle f(z)=i{\frac {zi}{z+i}},}$

そして導関数は簡単に計算できます。

これが半径の良い尺度であることは、シュワルツの補題とケーベの1/4定理から次の直接的な帰結によって示される。z ∈ D ⊂ Cの場合、

${\displaystyle {\frac {\operatorname {rad} (z,D)}{4}}\leq \operatorname {dist} (z,\partial D)\leq \operatorname {rad} (z,D),}$

ここで、dist( z , ∂ D )は、 zとDの境界間のユークリッド距離、つまり、中心z を持つ最大の内接円の半径を表します。

両方の不等式は最良です:

D = Dおよびz = 0とすると、上限は明らかに達成されます。

下限は、次の「スリット領域」によって達成されます: D = C \ R ₊かつz = − r ∈ R ₋。平方根写像 φ は、D を上半平面H上にとり、導関数 を持ちます。上半平面の上記の式は となり、次に等角写像による変換の式は rad(− r , D ) = 4 rとなり、もちろん dist(− r , ∂ D ) = rとなります。${\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}}$${\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}}$${\displaystyle \operatorname {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$

D ⊂ Cが連結かつ単連結なコンパクト集合である場合、その補集合E = D ^{c は}リーマン球面上の連結かつ単連結な領域であり、∞ ^[要出典]を含み、次のように定義できる。

${\displaystyle \operatorname {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\operatorname {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}$

ここで、f  : C \ D → Eは、f(∞) = ∞ かつその極限が正の実数である唯一の全単射共形写像、すなわち、次の形の共形写像である。

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

係数c ₁ = rad(∞, D )は、超限直径とDの（対数）容量に等しい。Pommerenke（1975）とKuz′mina（2002）の第11章を参照。

係数c _0はDの共形中心と呼ばれ、 Dの凸包内にあることが示されます。さらに、

${\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}$

ここで半径2 c _1は長さ4 c ₁の直線部分に対して鋭角である。Pommerenke（1975）の12～13ページと第11章を参照。

我々は、非常に異なる観点から定義されるにもかかわらず、超限直径に等しい他の3つの量を定義する。

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}$

点のペアワイズ距離の積を表し、コンパクト集合D ⊂ Cに対して次の量を定義します。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$

${\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{1\left/{\binom {n}{2}}\right.}}$

言い換えれば、はD内のn点のペアワイズ距離の幾何平均の上限です。Dはコンパクトなので、この上限は実際には点の集合によって達成されます。このようなn点の集合はフェケテ集合と呼ばれます。 ${\displaystyle d_{n}(D)}$

限界は存在し、それはフェケテ定数と呼ばれます。 ${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}$

ここで、C [ x ]のn次の単項式全体の集合を と表し、 Dのすべてゼロの多項式全体の集合を と表し、次のように定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$そして${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$

そして限界

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{1/n}}$そして${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{1/n}}$

存在し、それぞれチェビシェフ定数と修正チェビシェフ定数と呼ばれます。Michael FeketeとGábor Szegő は、これらの定数が等しいことを証明しました。

共形半径は、例えばシュラム・レーヴナー展開を扱うときに非常に便利なツールです。Lawler、Schramm、Werner (2002) に素晴らしい例が載っています。

• Ahlfors, Lars V. (1973)。共形不変量: 幾何関数理論のトピック。高等数学シリーズ。McGraw- Hill。MR  0357743。Zbl 0272.30012  。
• Horváth, János 編 (2005)。20世紀ハンガリー数学のパノラマ、I。Bolyai Society Mathematical Studies。Springer。ISBN 3-540-28945-3。
• Kuz′mina, GV (2002) [1994]、「領域の共形半径」、数学百科事典、EMS プレス
• Lawler, Gregory F. ; Schramm, Oded ; Werner, Wendelin (2002)、「臨界 2D パーコレーションのワンアーム指数」、Electronic Journal of Probability、7 (2): 13 pp.、arXiv : math/0108211、doi :10.1214/ejp.v7-101、ISSN  1083-6489、MR  1887622、Zbl  1015.60091
• クリスチャン・ポメレンケ(1975)。一価関数。 Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher。 Vol.バンドXXV。 Gerd Jensen による二次微分に関する章付き。ゲッティンゲン：ファンデンフック＆ループレヒト。Zbl  0298.30014。

• ルメリー、ロバート S. (1989)、「代数曲線の容量理論」、数学講義ノート、第 1378 巻、ベルリンなど: Springer-Verlag、ISBN 3-540-51410-4、ZBL  0679.14012

• プー、チャールズ、等角半径MathWorldより— Eric W. Weisstein が作成した Wolfram Web リソース。