軌道（流体力学）

流体力学、気象学、海洋学では、軌跡は流れの中の 単一の点（小包と呼ばれることが多い）の動きを描きます。

軌跡は、煙の柱などの大気汚染物質を追跡するのに役立ち、また、等高線移流や半ラグランジュ法などのラグランジュシミュレーションの構成要素としても役立ちます。

時間とともに変化する流れ場があるとします。流体塊の動き、つまり軌道は、次の常微分方程式のシステムによって与えられます。 ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},~t)}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}({\vec {x}},~t)}$

この方程式は単純に見えますが、数値的に解こうとすると少なくとも 3 つの考慮事項があります。1 つ目は積分スキームです。これは通常、ルンゲ・クッタ法 [1] ですが、^リープフロッグ法などの他の方法も役立ちます。2 つ目は、特定の位置、および時間tにおける速度ベクトルを決定する方法です。通常、速度ベクトルはすべての位置と時間で既知ではないため、何らかの補間法が必要になります。速度が空間と時間でグリッド化されている場合は、双線形、三線形、またはより高次元の線形補間が適切です。双 3次補間、三 3 次補間などの補間も使用されますが、余分な計算オーバーヘッドがかかるため、おそらく価値はありません。 ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

速度場は、例えば気象観測気球、数値モデル、あるいは特にその2つの組み合わせ（例えば同化モデル）などの測定によって決定することができます。

最後の懸念は、メートル法の補正です。これは、球状の地球上の地球物理学的流体の流れに必要です。経度緯度座標で 2 次元の大気の軌跡をトレースするための微分方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {d\theta}{dt}}={\frac {u}{r\cos \phi}}}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v}{r}}}$

ここで、およびはそれぞれラジアン単位の経度と緯度、rは地球の半径、uは帯状風、v は子午線風です。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$

この定式化の問題の 1 つは、極特異性です。最初の式の分母が緯度が 90 度プラスまたはマイナスのときに 0 になることに注目してください。これを克服する 1 つの方法は、極に近い局所的な直交座標系を使用することです。もう 1 つの方法は、北半球用と南半球用の 2 つの方位角正距投影図法で積分を実行することです。 ^[2]

軌道は大気圏内の気球や海洋のブイによって検証できます。

• ctraj: C++ で書かれた軌道積分器。