漸近線を移動する方法

移動漸近線法（MMA）は、 1980年代にクリステル・シュヴァンベリによって開発された最適化アルゴリズムです。主に非線形計画問題、特に構造設計やトポロジー最適化に関連する問題を解決するために使用されます。^[1]

MMA は、1987 年に Krister Svanberg によって「漸近線の移動法 - 構造最適化のための新しい方法」と題された論文で紹介されました。^[2]この方法は、従来の最適化方法の代替として提案され、特に構造設計の分野で大規模な問題に対処できるアプローチを提供しました。1993 年に Svanberg によって発表された別の論文では、ミニマックス定式化やサブ問題を解決するための 1 次および 2 次双対法など、この方法にいくつかの拡張機能が追加されました。^[3]全体的に収束する別のバージョンは、Zillober によって提案されました。^[4]

移動漸近線法は反復スキームとして機能します。MMA の背後にある重要なアイデアは、元の非線形制約と目的関数をより単純な凸近似で近似することです。この近似は線形制約と凸目的関数によって表されます。^[2]

最初の推測から始まり、各反復は次の手順で構成されます。

ステップI

反復ポイント が与えられた場合、との勾配を計算します。${\displaystyle x^{(k)}}$${\displaystyle f_{i}(x^{(k)})}$${\displaystyle \nabla f_{i}(x^{(k)})}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,m}$

ステップ II

ステップ I の計算に基づいて、内の(通常は暗黙的な) 関数を明示的な関数 に近似して置き換え、サブ問題を生成します。${\displaystyle P^{(k)}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{(k)}}$

ステップIII

を解き、このサブ問題の最適解を次の反復ポイントとします。 を解き、収束するまでステップ I に戻ります。${\displaystyle P^{(k)}}$${\displaystyle x^{(k+1)}}$${\displaystyle k=k+1}$

移動漸近線は適応メカニズムとして機能します。各反復ごとに移動および変化し、徐々に最適なソリューションに近づきます。これにより、アルゴリズムが進むにつれて近似値がますます正確になります。^[2]

移動漸近線法は、次のようなさまざまな分野で広く応用されています。^[1]

1. 構造最適化: トラス構造、梁、プレート、シェルの設計。
2. 空力弾性最適化: 抗力と重量を減らし、構造の完全性を確保するための航空機の翼やその他のコンポーネントの設計。
3. 材料設計: 望ましい機械的特性を持つ材料を設計するためのトポロジー最適化。
4. 機械部品設計：軽量化、耐久性、性能を考慮した機械部品の最適化。

• 逐次二次計画法
• トポロジー最適化