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サーストンモデルは、ある連続尺度から離散的で順序付けられた応答カテゴリへのマッピングを記述するための潜在変数を持つ確率的推移性モデルです。このモデルでは、これらの応答カテゴリのそれぞれが潜在変数に対応し、その値は他の応答変数とは独立に、かつ一定の分散を持つ正規分布から抽出されます。
しかし、過去 20 年間の発展により、不等分散と非ゼロ共分散項を許容するサーストンモデルが開発されました。サーストンモデルは、感覚弁別課題の分析において一般化線形モデルの代替として使用されてきました。[ 1 ]また、米国憲法の修正条項の順序など、順序付けられた選択肢の順位付け課題における長期記憶のモデル化にも使用されています。 [ 2 ]他の順位付け課題モデルに対する主な利点は、選択肢の非独立性を考慮できる点です。[ 3 ]
Ennis [ 4 ]は、選好選択、評価、トライアド、テトラッド、デュアルペア、同一/相違および相違の度合い、ランク、ファースト/ラスト選択、適用性スコアリングなど、さまざまな行動タスクに対するサーストンモデルの導出について包括的に説明しています。本書の第 7 章では、1988 年に導出されたユークリッド-ガウス類似性モデルの閉形式表現が示されており、多くのサーストンモデルが計算が複雑で、しばしば多重積分を伴うというよく知られた問題に対する解決策を提供しています。第 10 章では、単変量正規分布関数の積のみを含み、ランク誘導依存性パラメータを含む、ランク付けタスクの単純な形式が提示されています。依存性パラメータの特定の形式が、この単純化を可能にする唯一の方法であることを示す定理が証明されています。第6章では、中心F分布関数の加重和という共通の多変量モデルを通して、識別、識別、および選好選択を関連付け、項目の一般的な分散共分散行列を可能にします。
n 人の独立した審査員によってランク付けされたm 個の選択肢の集合を考えます。このようなランキングは、順序ベクトルr n = (r n1 , r n2 ,...,r nm ) で表すことができます。
観測されたランキングは、審査員iによるオプションjの評価を表す実数値の潜在変数z ijから導出されるものと想定される。ランキングr i はz iから決定論的に導出され、 z i (r i1 ) < z i (r i2 ) < ... < z i (r im )となる。
z i は、各オプションの基となる真値μから導出されるものと仮定する。最も一般的な場合、それらは多変量正規分布に従う。
一般的な簡略化の一つは、各審査員に対して単一の標準偏差パラメータを持つ等方性ガウス分布を仮定することである。
モデルパラメータを推定するためのギブスサンプラーに基づくアプローチは、YaoとBockenholt（1999）によるものである。[ 3 ]
z ij は、その順位を維持するために、切断多変量正規分布からサンプリングする必要があります。Hajivassiliou の切断多変量正規ギブスサンプラーを使用すると、効率的にサンプリングできます。 [ 5 ] [ 6 ]
βは正規分布からサンプリングされる。
ここで、β *とΣ *は、平均値と共分散行列の現在の推定値である。
Σ −1は、ウィシャート事後分布からサンプリングされ、ウィシャート事前分布とサンプルε i = z i - βからのデータ尤度が組み合わされます。
では、ステップ1に戻ってください。
サーストンモデルは、比較判断の法則を説明するためにルイス・レオン・サーストンによって導入されました。[ 7 ] 1999年以前は、モデルのパラメータを推定するために必要な高次元積分のため、サーストンモデルは4つ以上の選択肢を含むモデリングタスクにはほとんど使用されませんでした。1999年に、YaoとBockenholtは、モデルパラメータを推定するためのギブスサンプラーベースのアプローチを導入しました。[ 3 ] ただし、このコメントはランキングにのみ適用され、より幅広い応用範囲を持つサーストンモデルは1999年以前に開発されていました。たとえば、一般的な分散共分散構造を持つ選好選択のための多変量サーストンモデルは、1993年と1994年に発表された論文に基づいて、Ennis (2016) の第6章で議論されています。さらに以前には、任意の共分散行列を持つ類似性のサーストン多変量モデルの閉形式が1988年に発表されており、Ennis (2016) の第7章で議論されています。このモデルは数多くの応用があり、特定の数の項目や個人に限定されません。
サーストンモデルは、聴覚、味覚、嗅覚の識別など、さまざまな感覚識別タスクに適用され、感覚連続体に沿って広がる刺激間の感覚距離を推定するために使用されています。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
サーストンのアプローチは、フリッター (1979) による、識別的非識別者のパラドックスとしても知られるグリッジマンのパラドックスの説明を促しました。[ 1 ] [ 9 ] [ 11 ] [ 12 ]人々は、刺激のどの次元に注意を向けるべきかを事前に知らされると、3 択強制選択課題でより良い成績を収めます。(たとえば、人々は、3 つの飲み物のうちどれが他の 2 つと異なるかを、甘さの度合いの違いが事前に知らされると、よりよく識別できます。) この結果は、異なる認知戦略によって説明されます。関連する次元が事前にわかっている場合、人々はその特定の次元に沿って値を推定できます。関連する次元が事前にわかっていない場合、人々は感覚距離のより一般的な多次元尺度に頼らなければなりません。
上記の段落には、サーストンによるグリッジマンのパラドックスの解決に関するよくある誤解が含まれています。確かに、3つの選択肢の中から選ぶ際には、異なる意思決定ルール（認知戦略）が用いられますが、ある属性を事前に知っているという事実だけではパラドックスは説明できませんし、被験者がより一般的な多次元的な感覚的差異の尺度に頼る必要もありません。例えば、三角形法では、被験者は3つの項目のうち最も異なるものを選ぶように指示されます。そのうち2つは同一であると想定されています。項目は一次元尺度で異なっている可能性があり、被験者は尺度の性質を事前に知らされるかもしれません。それでもグリッジマンのパラドックスは観察されます。これは、3択強制選択課題の結果をモデル化するために想定される大きさに基づく意思決定ルールではなく、距離に基づく意思決定ルールとサンプリングプロセスが組み合わさっているためです。
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