ミラーの再帰アルゴリズム

ミラーの漸化式アルゴリズムは、 JCPミラーによって開発された3項漸化式の急激に減少する解を逆方向に計算する手順です。^[1]もともとは修正ベッセル関数の表を計算するために開発されましたが^{[2] 、第一種ベッセル関数にも適用され、他の特殊関数の}チェビシェフ展開の係数の計算など、他の用途もあります。^[3]

多くの特殊関数の族は、共通の引数を持つ異なる次数の関数の値を関連付ける再帰関係を満たします。 ${\displaystyle x}$

第一種修正ベッセル関数は再帰関係を満たす。 ${\displaystyle I_{n}(x)}$

${\displaystyle I_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}I_{n}(x)+I_{n+1}(x)}$。

しかし、第二種の修正ベッセル関数も同じ再帰関係を満たす。 ${\displaystyle K_{n}(x)}$

${\displaystyle K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)}$。

最初の解は とともに急速に減少します。2 番目の解は とともに急速に増加します。ミラーのアルゴリズムは、減少する解を得るための数値的に安定した手順を提供します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ミラーのアルゴリズムに従って からまでの回帰式の項を計算するには、まずよりもはるかに大きい値を選択し、初期条件を任意の非ゼロ値（1 など）に設定し、およびそれ以降の項をゼロにして試行解を計算します。次に、回帰関係を使用して、 から までの試行値を連続的に計算します。試行シーケンスに定数正規化係数を乗じて取得した 2 番目のシーケンスは、同じ回帰関係を満たすため、別の正規化関係を適用して、実際の解を生成する正規化係数を決定できます。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{N}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a_{M}}$${\displaystyle a_{M+1}}$${\displaystyle a_{M-1}}$${\displaystyle a_{M-2}}$${\displaystyle a_{0}}$

修正ベッセル関数の例では、適切な正規化関係は、再帰の偶数項を含む合計です。

${\displaystyle I_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}I_{2m}(x)=1}$

ここで、 以降の項がゼロになるという近似により、無限の合計は有限になります。 ${\displaystyle a_{M+1}}$

最後に、最初の選択よりも大きい の2 番目の選択で手順を繰り返し、から までの2 番目の結果セットが最初のセットと所望の許容範囲内で一致することを確認することで、手順の近似誤差が許容範囲内であることが確認されます。この一致を得るには、 の値が十分に大きく、項が所望の許容範囲に比べて小さくなければならないことに注意してください。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{N}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{M}}$

ミラーのアルゴリズムとは対照的に、他の方法で得られた既知の値から始めて、再帰関係を順方向に適用しようとすると、丸め誤差によって急速に増加する解の成分が導入されるため、失敗する。^[4]${\displaystyle I_{0}(x)}$${\displaystyle I_{1}(x)}$

Olver ^[2]とGautschi ^[5]はアルゴリズムのエラー伝播を詳細に分析している。

第一種ベッセル関数の場合、同値な再帰関係と正規化関係は次のようになる。^[6]

${\displaystyle J_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)}$

${\displaystyle J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1}$。

このアルゴリズムは、個別の関数を直接独立して計算する場合と比較して、各値のすべての順序のベッセル関数の値を必要とするアプリケーションで特に効率的です。 ${\displaystyle 0\cdots N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N+1}$