砂の計算者

砂の計算者（アレナリウス）

著者	アルキメデス
言語	ラテン
ジャンル	巨大数学、天文学

『砂の計算者』（ギリシア語： Ψαμμίτης、プサミテス）は、紀元前3世紀の古代ギリシアの数学者アルキメデスの著作であり、宇宙に収まる砂粒の数の上限を決定することを目指した。これを行うために、アルキメデスは当時のモデルに従って宇宙の大きさを推定し、非常に大きな数について話す方法を発明しなければならなかった。

ラテン語ではアレナリウスとしても知られるこの作品は、翻訳すると約8ページになり、シラクサ王ゲロン2世（ヒエロン2世の息子）に宛てられたものである。アルキメデスの作品の中で最も読みやすいと考えられている。^[1]

まず、アルキメデスは大きな数の命名システムを発明しなければならなかった。当時使用されていた数体系は、無数(μυριάς — 10,000) までの数を表現でき、無数という単語自体を使用することで、これを無数の無数 (10 ⁸ ) までのすべての数に命名することにすぐに拡張できる。^[3]アルキメデスは 10 ⁸までの数を「第 1 次」と呼び、10 ⁸自体を「第 2 次単位」と呼んだ。この単位の倍数が第 2 次となり、この単位の無数無数倍、10 ⁸ ·10 ⁸ =10 ¹⁶となった。これが「第 3 次単位」となり、その倍数が第 3 次、というように続いていった。アルキメデスは、10 ⁸次単位の無数無数倍、すなわち (10 ⁸ )^(10 ⁸ ) まで、このようにして数に命名を続けた。

これをした後、アルキメデスは定義した順序を「第一周期の順序」と呼び、最後の順序 を「第二周期の単位」と呼んだ。そして、第一周期の順序が構築されたのと類似した方法で、この単位の倍数をとって第二周期の順序を構築した。このやり方を続けると、最終的に無数万周期の順序にたどり着いた。アルキメデスが名付けた最大の数は、この周期の最後の数であり、 ${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}$

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

この数字を別の方法で表すと、1 の後に (短いスケールで) 80 京 (80·10 ¹⁵ ) 個のゼロが続きます。

アルキメデスの記数は、10 ^{8 を基数とする}位取り記数法を彷彿とさせます。これは、古代ギリシャ人が数字の表記に非常に単純なシステムを使用していたことを考えると注目に値します。このシステムでは、1 から 9 までの単位、10 から 90 までの十の位、100 から 900 までの百の位に 27 種類のアルファベット文字が使用されています。

アルキメデスはまた、10 の累乗を操作するために必要な 指数法則を発見し、証明しました。${\displaystyle 10^{a}10^{b}=10^{a+b}}$

アルキメデスはその後、宇宙を満たすのに必要な砂粒の数の上限を推定した。そのために、彼はサモス島のアリスタルコスの太陽中心モデルを使用した。アリスタルコスの原著は失われている。しかし、アルキメデスのこの著作は、彼の理論^{[4]に関する数少ない現存する文献の1つであり、}地球が太陽の周りを回っている間、太陽は動かないというものである。アルキメデス自身の言葉によれば、

彼（アリスタルコス）の仮説は、恒星と太陽は動かず、地球は太陽の周りを円周上で回転し、太陽は軌道の中央に位置し、恒星の球は太陽とほぼ同じ中心に位置し、地球が回転すると想定される円は、恒星の距離と球の中心がその表面と接する距離に比例する、というものである。^[5]

このモデルのサイズが大きい理由は、ギリシャ人が当時の技術では恒星の視差を観測できなかったためです。これは、視差が極めて小さいため、恒星は地球から遠く離れた場所になければならないことを意味します (太陽中心説が正しいと仮定した場合)。

アルキメデスによれば、アリスタルコスは星が地球からどのくらい離れているかを述べていなかった。そのため、アルキメデスは次のような仮定を立てなければならなかった。

• 宇宙は球体だった
• 宇宙の直径と太陽の周りの地球の軌道の直径の比は、太陽の周りの地球の軌道の直径と地球の直径の比に等しかった。

この仮定は、地球の軌道周りの運動によって生じる恒星の視差が、地球の周りの運動によって生じる太陽の視差に等しいと表現することもできます。比率で表すと、

${\displaystyle {\frac {\text{宇宙の直径}}{\text{太陽の周りの地球の軌道の直径}}}={\frac {\text{太陽の周りの地球の軌道の直径}}{\text{地球の直径}}}}$

上限を得るために、アルキメデスは次元に関して次のような仮定を立てました。

• 地球の周囲は300万スタディオン（5.55·10 ⁵ km）以下である。
• 月は地球よりも大きくなく、太陽は月の30倍以上の大きさではないということ。
• 地球から見た太陽の角直径は直角の1/200（π/400ラジアン= 0.45 °度）よりも大きかった。

^{アルキメデスはその後、宇宙の直径は 10 14}スタディオン (現代の単位で約 2光年)以下であり、宇宙を満たすのに必要な砂の数は 10 ⁶³個以下であると結論付けました。これらの測定値によると、アルキメデスの思考実験における砂の 1 粒の直径は約 19 μm (0.019 mm) になります。

アルキメデスは、40 個のケシの実を並べると、長さ約 19 mm (3/4 インチ) のギリシャの指幅 1 つに相当すると主張しています。体積は線形次元の 3 乗として進行するため (「球体は、互いにその直径の 3 倍の比を持つことが証明されている」)、直径 1 指の球体には (現在の記数法を使用すると) 40 ³、つまり 64,000 個のケシの実が含まれることになります。

そして彼は（証拠もなく）ケシの実 1 粒に砂粒が無数（10,000 個）含まれていると主張しました。この 2 つの数字を掛け合わせると、直径 1 ダクティルの球体に含まれる仮想的な砂粒の数は 640,000,000 個になるという仮説を立てました。

以降の計算を容易にするため、アルキメデスは 6 億 4000 万を 10 億に切り上げましたが、最初の数字が 2 番目の数字より小さいため、その後に計算される砂粒の数は実際の砂粒の数を超えることになるとだけ指摘しました。このエッセイにおけるアルキメデスの真の目的は、宇宙に収まる砂粒の数を正確に計算することではなく、それまで不可能と思われていた大きな数字で計算する方法を示すことだったことを思い出してください。

ギリシャの競技場は長さが 600 ギリシャ フィートで、各フィートの長さは 16 本の指の長さなので、競技場には 9,600 本の指がありました。アルキメデスは計算を容易にするためにこの数字を 10,000 (無数) に切り上げましたが、この場合も、結果として得られる数字は実際の砂粒の数を超えることに注意しました。

10,000 の立方体は 1 兆 (10 ¹² ) であり、10 億 (球体に含まれる砂粒の数) に 1 兆 (スタジアム球体に含まれる球体の数) を掛けると、スタジアム球体に含まれる砂粒の数である 10 ²¹になります。

アルキメデスはアリスタルキアン宇宙の直径を10の^14乗スタジアムと推定していたので、宇宙には（10の^14乗）^{3個のスタジアム球、つまり10の42乗個が存在することになる。10の21}乗に10の^42乗を掛けると10の⁶³乗となり、アリスタルキアン宇宙の砂粒の数となる。^[6]

アルキメデスの推定によれば、ケシの実 1 粒には無数 (10,000 個) の砂粒、指球には 64,000 個のケシの実、競技場の長さは 10,000 本の指球、指球の幅は 19 mm とすると、アルキメデスの典型的な砂粒の直径は 18.3 μm となり、これは今日ではシルト粒と呼ばれるものです。現在、最小の砂粒は直径 50 μm と定義されています。

アルキメデスは、その過程でいくつかの興味深い実験と計算を行った。ある実験は、地球から見た太陽の角度の大きさを推定するものだった。アルキメデスの方法は、目の瞳孔の大きさが有限であることを考慮に入れている点で特に興味深い。^{[7]そのため、}心理物理学における最初の実験例である可能性がある。心理物理学は、人間の知覚の仕組みを扱う心理学の一分野であり、その発展は一般にヘルマン・フォン・ヘルムホルツによるものとされている。もう1つの興味深い計算は、太陽視差と、地球の中心から見た場合と日の出時の地球の表面から見た場合の、観測者と太陽との距離の違いを考慮に入れたものである。これは、太陽視差を扱った最初の計算である可能性がある。^[1]

ゲロン王よ、砂の数は無限であると考える人々がいます。ここで言う砂とは、シラクサやシチリア島の残りの地域に存在する砂だけでなく、人が住んでいる地域、住んでいない地域を問わず、あらゆる地域で見つかる砂のことです。また、砂を無限とは考えないが、その大きさを超えるほど大きな数は挙げられていないと考える人々もいます。そして、この見解を持つ人々が、他の点では地球の質量と同じ大きさの砂の塊を想像したとしても、その中に地球の海や窪地がすべて含まれ、最高峰の高さまで満たされているとしたら、そのようにして得られた砂の数を超える数値が表現できるとは認識できないことは明らかです。

しかし、私がゼウクシッポスに送った著作の中で挙げた数の中には、地球の大きさに等しい砂の質量を説明した方法で埋め立てた数だけでなく、宇宙の大きさに等しい質量をも超えるものがあることを、あなたがたにも理解できる幾何学的証明によって示そうと思う。^[8]

— アルキメディス・シュラクサーニ・アレナリウス＆ディメンシオ・チルクリ

• ジリアン・ブラッドショー著『砂の計算者』。フォージ社（2000年）、348ページ、ISBN 0-312-87581-9。アルキメデスの生涯と業績についての歴史小説です。 

• 元のギリシャ語テキスト
• 砂の計算者（注釈付き）
• 『砂の計算者』（Arenario）のイタリア語注釈付き翻訳。アルキメデスとギリシャの数学的記法および測定単位に関する注釈付き。Arenarius ギリシャ語テキストのソース ファイル（LaTeX 用）。
• イラン・ヴァルディ著『アルキメデス、砂の計算者』。ギリシャ語原文の直訳英語版を含む。