行列理論の公式
行列理論 において 、 シルベスターの公式 または シルベスターの行列定理 （ JJシルベスター にちなんで名付けられた）あるいは ラグランジュ−シルベスター補間は、 行列 A の 解析 関数 f ( A )を A の多項式として、 A の 固有値と固有ベクトルを 用いて表現するものである 。 [1] [2] これは次のように述べている 。[3]
ふ （ あ ） =
∑
私 = 1
け
ふ （
λ
私
）
あ
私
、
{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,}
ここで λ i は A の固有値であり 、行列
あ
私
≡
∏
じゅう = 1
じゅう ≠ 私
け
1
λ
私
−
λ
じゅう
（
あ −
λ
じゅう
私
）
{\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)}
はA の 対応する フロベニウス共変量 であり、 A の（射影）行列 ラグランジュ多項式 です。
条件 シルベスターの公式は、 k 個 の異なる固有値 λ 1 , ..., λ k を持つ任意の 対角化可能な行列 Aと、 f ( A ) が適切に定義されるような 複素数 の部分集合上で定義された 任意の関数 f に 適用される。最後の条件は、すべての固有値 λ i がf の定義域にあり、 重複度 m i > 1 のすべての固有値 λ i が 定義域の内部にあり、 fが λ i で( m i - 1 ) 回微分可能であることを意味する 。 [1] : 定義 6.4
例 2行2列の行列を考えてみましょう。
あ =
[
1
3
4
2
]
。
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}
この行列には5と-2の2つの固有値があります。そのフロベニウス共変量は
あ
1
=
ｃ
1
r
1
=
[
3
4
]
[
1 7
1 7
]
=
[
3 7
3 7
4 7
4 7
]
=
あ + 2 私
5 − （ − 2 ）
あ
2
=
ｃ
2
r
2
=
[
1 7
−
1 7
]
[
4
− 3
]
=
[
4 7
−
3 7
−
4 7
3 7
]
=
あ − 5 私
− 2 − 5
。
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}}
シルベスターの式は次のようになる。
f
(
A
)
=
f
(
5
)
A
1
+
f
(
−
2
)
A
2
.
{\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,}
例えば、 fが f ( x ) = x −1 で定義されている場合 、シルベスターの公式は逆行列 f ( A ) = A −1を 次のように
表す。
1
5
[
3
7
3
7
4
7
4
7
]
−
1
2
[
4
7
−
3
7
−
4
7
3
7
]
=
[
−
0.2
0.3
0.4
−
0.1
]
.
{\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.}
一般化 シルベスターの公式は 対角化可能な行列に対してのみ有効である。 アーサー・ブッフハイムによる エルミート補間多項式 に基づく 拡張は 、一般的なケースをカバーする： [4]
f
(
A
)
=
∑
i
=
1
s
[
∑
j
=
0
n
i
−
1
1
j
!
ϕ
i
(
j
)
(
λ
i
)
(
A
−
λ
i
I
)
j
∏
j
=
1
,
j
≠
i
s
(
A
−
λ
j
I
)
n
j
]
{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]}
、 どこ 。
ϕ
i
(
t
)
:=
f
(
t
)
/
∏
j
≠
i
(
t
−
λ
j
)
n
j
{\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}
ハンス・シュヴェルトフェガー はさらに簡潔な形式を提示している 。 [5]
f
(
A
)
=
∑
i
=
1
s
A
i
∑
j
=
0
n
i
−
1
f
(
j
)
(
λ
i
)
j
!
(
A
−
λ
i
I
)
j
{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}}
、 ここで、 A i は A の 対応する フロベニウス共変量である。
特別なケース 行列 A が エルミート かつ ユニタリ である場合 、 の固有値のみを持つことができ 、したがって となります 。ここで は 固有値 +1 を持つ部分空間への射影であり、 は 固有値 を持つ部分空間への射影です 。固有基底の完全性により、 となります 。したがって、任意の解析関数 f に対して、
±
1
{\displaystyle \pm 1}
A
=
A
+
−
A
−
{\displaystyle A=A_{+}-A_{-}}
A
+
{\displaystyle A_{+}}
A
−
{\displaystyle A_{-}}
−
1
{\displaystyle -1}
A
+
+
A
−
=
I
{\displaystyle A_{+}+A_{-}=I}
f
(
θ
A
)
=
f
(
θ
)
A
+
1
+
f
(
−
θ
)
A
−
1
=
f
(
θ
)
I
+
A
2
+
f
(
−
θ
)
I
−
A
2
=
f
(
θ
)
+
f
(
−
θ
)
2
I
+
f
(
θ
)
−
f
(
−
θ
)
2
A
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {I-A}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2}}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{aligned}}.}
特に、 および 。
e
i
θ
A
=
(
cos
θ
)
I
+
(
i
sin
θ
)
A
{\displaystyle e^{i\theta A}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )A}
A
=
e
i
π
2
(
I
−
A
)
=
e
−
i
π
2
(
I
−
A
)
{\displaystyle A=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}}
参照
参考文献
^ ab / Roger A. Horn および Charles R. Johnson (1991)、 「行列分析のトピック 」、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-46713-1 ^ Jon F. Claerbout (1976)、 「シルベスターの行列定理」 、 『地球物理学的データ処理の基礎』 の一部 。オンライン版は sepwww.stanford.edu で、2010 年 3 月 14 日にアクセス。 ^シルベスター、 JJ (1883)。「XXXIX. 惑星理論における世俗 的 不等式の方程式について」。 ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル 。16 (100): 267–269。doi :10.1080/14786448308627430。ISSN 1941-5982 。 ^ ブッフハイム、アーサー (1884)。「行列の理論について」。 ロンドン数学会紀要 。s1-16 (1): 63–82。doi :10.1112 / plms/s1-16.1.63。ISSN 0024-6115 。 ^ シュヴェルトフェーガー、ハンス (1938)。 Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes。 I 1巻 。フランス、パリ：ヘルマン。
FR Gantmacher 、 The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing、NY、1960) ISBN 0-8218-1376-5 、pp 101-103 Higham, Nicholas J. (2008). 行列の関数: 理論と計算 . フィラデルフィア: 産業応用数学協会 (SIAM). ISBN 9780898717778 . OCLC 693957820. Merzbacher, E (1968). 「量子力学における行列法」 Am. J. Phys . 36 (9): 814–821. Bibcode :1968AmJPh..36..814M. doi :10.1119/1.1975154. 
![{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b10e59cc28819be952d26bf3ce19bd92d4de62f)
