超ポアソン分布

数学において、スーパーポアソン分布は、同じ平均を持つポアソン分布よりも大きな分散を持つ確率分布です。^[1]逆に、サブポアソン分布は分散が小さくなります。

超ポアソン分布の例としては負の二項分布がある。^[2]

ポアソン分布は、イベント間の時間 (または同等の測定値) が指数分布を持つプロセスの結果であり、記憶のないプロセスを表します。

確率論では、分布Dが別の分布Eの部分分布であるとは、 Dのモーメント生成関数がEの定数 で制限されるときによく言われます。言い換えると、

${\displaystyle E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim E}[\exp(CtX)].}$

あるC > 0に対して。^[3]これは、とが両方ともサブE分布から 得られる場合、もサブE分布から得られることを意味しています。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

分布が厳密に劣ポアソン分布であるのは、 C ≤ 1 の場合である。この定義から、分布Dが劣ポアソン分布であるのは、

${\displaystyle E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim {\text{ポアソン}}(\lambda )}[\exp(tX)]=\exp(\lambda (e^{t}-1)),}$

すべてのt > 0に対して。^[4]

ポアソン分布より劣る分布の例としてはベルヌーイ分布がある。

${\displaystyle E[\exp(tX)]=(1-p)+pe^{t}\leq \exp(p(e^{t}-1)).}$

サブポアソン分布は合計によって保存されるため、二項分布もサブポアソン分布である ことがわかります。