日の出方程式

日の出方程式または日の入り方程式を使用すると、日の出と日の入りが実際に発生する現地の太陽時に基づいて、 任意の太陽赤緯と緯度に対する日の出または日の入りの時刻を導き出すことができます。

それは次のように定式化されます:

${\displaystyle \cos \omega _{\circ }=-\tan \phi \times \tan \delta }$

どこ：

${\displaystyle \omega _{\circ}}$日の出（負の値を取る場合）または日の入り（正の値を取る場合）の太陽時角です。

${\displaystyle \phi}$地球上の観測者の緯度です。

${\displaystyle \delta}$太陽の赤緯です。

地球は1 時間あたり 15° の角速度で自転しています。したがって、 という式(単位は度) は、日の出から現地太陽正午まで、または現地太陽正午から日没までの時間間隔を時間単位で表します。 ${\displaystyle \omega _{\circ }/\mathrm {15} ^{\circ }}$${\displaystyle \omega _{\circ}}$

符号規則は通常、観測緯度が赤道で 0 となり、北半球では正、南半球では負となり、太陽赤緯は太陽が赤道の真上にある春分と秋分では 0 となり、北半球の夏には正、北半球の冬には負となります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \delta}$

上記の式は、北極圏と南極圏の間の緯度に常に適用されます。北極圏の北または南極圏の南では、1 年に少なくとも 1 日は日の出または日の入りがありません。正式には、北半球の夏には に、北半球の冬には に日の出または日の入りがあります。これらの緯度外の場所では、24 時間昼または 24 時間夜間になります。 ${\displaystyle -90^{\circ }+\delta <\phi <90^{\circ }-\delta }$${\displaystyle -90^{\circ }-\delta <\phi <90^{\circ }+\delta }$

冒頭に示した式では、左辺の余弦関数は範囲 [-1, 1] 内の結果を返しますが、右辺の式の値は範囲 内にあります。Fortran 90の形式で に適用可能な式は次のとおりです。 ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \omega _{\circ }}$

オメガ = acos(max(min(-tan(デルタ*rpd)*tan(ファイ*rpd), 1.0), -1.0))*dpr

ここで、omegaoは度、deltaは度、phiは度、rpdは、dprは に等しくなります。 ${\displaystyle \omega _{\circ }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}}$${\displaystyle {\frac {180}{\pi }}}$

上記の式は、範囲 の度で結果を返します。 のときは、極夜、つまり 0 時間の昼光であることを意味します。 のときは、極昼、つまり 24 時間の昼光であることを意味します。 ${\displaystyle [0^{\circ },180^{\circ }]}$${\displaystyle \omega _{\circ }=0^{\circ }}$${\displaystyle \omega _{\circ }=180^{\circ }}$

が北半球の与えられた緯度で、が負の値を持つ対応する日の出時間角であり、同様に、が南半球の同じ緯度で、つまり であり、が対応する日の出時間角であるとすると、次のことがわかります。 ${\displaystyle \phi _{N}}$${\displaystyle \omega _{\circ N}}$${\displaystyle \phi _{S}}$${\displaystyle \phi _{S}=-\phi _{N}}$${\displaystyle \omega _{\circ S}}$

${\displaystyle \cos \omega _{\circ S}=-\cos \omega _{\circ N}=\cos(-180^{\circ }-\omega _{\circ N})}$、

つまり

${\displaystyle \omega _{\circ N}+\omega _{\circ S}=-180^{\circ }}$。

上記の関係は、同じ日に、との場合、日の出から日の入りまでの昼間の長さの合計が 24 時間になることを意味し、これは極昼と極夜が発生する地域にも当てはまります。これはさらに、大気の屈折の影響を考慮せずに、任意の日の昼間の長さの世界平均が 12 時間であることを示唆しています。 ${\displaystyle \phi _{N}}$${\displaystyle \phi _{S}}$${\displaystyle \phi _{S}=-\phi _{N}}$

上記の式は、大気の屈折（太陽の円盤が地平線上にあるときに約 0.6° 上昇し、空に高く見えるようになる）の影響と、太陽の円盤が張る非ゼロの角度（太陽の見かけの直径）（約 0.5°）を無視しています。天文暦に記載されている太陽の上部の昇りと沈みの時刻は、より一般的な式を使用してこれを補正します。

${\displaystyle \cos \omega _{\circ }={\dfrac {\sin a-\sin \phi \times \sin \delta }{\cos \phi \times \cos \delta }}}$

太陽面の中心の 高度角（a）は約−0.83°（または−50分角）に設定されます。

上記の一般的な方程式は、他の太陽高度にも使用できます。NOAA は、これらの他の高度での屈折補正のための追加の近似式を提供しています。^[1]また、米国海軍天文台の「ベクトル天文学ソフトウェア」で使用されている GG Bennett による非区分式などの代替式もあります。^[2]

一般化された方程式は、方程式自体を計算する前に計算する必要がある他の多くの変数に依存しています。これらの方程式では、太陽地球定数が度数で表された角度定数に置き換えられています。

${\displaystyle n=\lceil J_{\text{date}}-2451545.0+0.0008\rceil }$

どこ：

${\displaystyle n}$2000 年 1 月 1 日 12:00 からの日数です。

${\displaystyle J_{\text{date}}}$はユリウス日です。

2451545.0 は、2000 年 1 月 1 日 12:00:00 のユリウス日のユリウス年と同等です。

0.0008 は、うるう秒と地球時間(TT)のユリウス日の部分数です。

TT は、1958 年 1 月 1 日にTAIより 32.184 秒遅れに設定されました。1972年にうるう秒が導入されると、10 秒が追加されました。2017 年 1 月 1 日までに、さらに 27 秒が追加され、合計 69.184 秒になりました。DUT1 がない場合、0.0008=69.184 / 86400です。

この操作により、次の整数日数 n に切り上げられます。${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

${\displaystyle J^{\star }=n-{\dfrac {l_{w}}{360^{\circ }}}}$

どこ：

${\displaystyle J^{\star }}$平均太陽時の近似値であり、日数分の整数で表されます。${\displaystyle n}$

${\displaystyle l_{\omega }}$地球上の観測者の経度（西が負、東が正）です。

${\displaystyle M=(357.5291+0.98560028\times J^{\star }){\bmod {3}}60}$

どこ：

M は次の 3 つの式で使用される太陽の平均異常です。

${\displaystyle C=1.9148\sin(M)+0.0200\sin(2M)+0.0003\sin(3M)}$

どこ：

C はラムダを計算するために必要な中心値の方程式です(次の方程式を参照)。

1.9148は、観測者がいる惑星（この場合は地球）の中心の方程式の係数です。

${\displaystyle \lambda =(M+C+180+102.9372){\bmod {3}}60}$

どこ：

λは黄道経度です。

102.9372 は近日点引数の値です。

${\displaystyle J_{transit}=2451545.0+J^{\star }+0.0053\sin M-0.0069\sin \left(2\lambda \right)}$

どこ：

J_{トランジットは、}現地の真太陽通過 (または太陽正午) のユリウス日です。

2451545.0 は、同等のユリウス年基準の正午です。

${\displaystyle 0.0053\sin M-0.0069\sin \left(2\lambda \right)}$は、時刻の等式を簡略化したものです。係数は小数点以下の日数です。

${\displaystyle \sin \delta =\sin \lambda \times \sin 23.4397^{\circ }}$

どこ：

${\displaystyle \delta }$太陽の赤緯です。

23.4397°は地球が太陽に対して傾く最大の角度である^[3]

あるいは、太陽の赤緯は次のように近似できる^[4]。

${\displaystyle \delta =23.45*\sin((360\times d/365.25)^{\circ })^{\circ }}$

どこ：

d は春分（通常は 3 月 21 日）からの日数です。

これは、大気の屈折と太陽の円盤の直径を補正した上記の式です。

${\displaystyle \cos \omega _{\circ }={\dfrac {\sin(-0.833^{\circ })-\sin \phi \times \sin \delta }{\cos \phi \times \cos \delta }}}$

どこ：

ω _{o は}観測者の子午線からの時角である。

${\displaystyle \phi }$地球上の観測者の北緯（北が正、南が負）です。

観測者の仰角補正が必要な海面上の観測では、分子の正弦項の −0.833° に、またはを加えます。これにより、見かけの傾斜と地上の屈折の両方が補正されます。たとえば、10,000 フィートの観測者の場合、−0.833° に (−115°/60) つまり約 −1.92° を加えます。^[5]${\displaystyle -1.15^{\circ }{\sqrt {\text{elevation in feet}}}/60}$${\displaystyle -2.076^{\circ }{\sqrt {\text{elevation in metres}}}/60}$

${\displaystyle J_{\text{rise}}=J_{\text{transit}}-{\dfrac {\omega _{\circ }}{360^{\circ }}}}$

${\displaystyle J_{\text{set}}=J_{\text{transit}}+{\dfrac {\omega _{\circ }}{360^{\circ }}}}$

どこ：

J_昇りは実際のユリウス暦の日の出日です。

J_セットは実際のユリウス暦の日没日です。

#!/usr/bin/env python3

 datetimeからロギングを
インポートします。datetime 、timedelta 、timezone 、tzinfo をインポートします。mathからacos 、asin 、ceil 、cos 、degrees 、fmod 、radians 、sin 、sqrt をインポートします。timeからtimeをインポートします。      
           
   

log  = ログ記録.getLogger ( )


def  _ts2human ( ts :  int  |  float ,  debugtz :  tzinfo  |  None )  ->  str : 
    return  str ( datetime . fromtimestamp ( ts ,  debugtz ))


def  j2ts ( j :  float  |  int )  ->  float : 
    return  ( j  -  2440587.5 )  *  86400


def  ts2j ( ts :  float  |  int )  ->  float :
    戻り値 ts  /  86400.0  +  2440587.5


def  _j2human ( j :  float  |  int ,  debugtz :  tzinfo  |  None )  ->  str : 
    ts  =  j2ts ( j ) 
    return  f ' { ts } = { _ts2human ( ts , debugtz ) } ' 


def  _deg2human ( deg :  float  |  int )  ->  str : 
    x  =  int ( deg  *  3600.0 ) 
    num  =  f '∠ { deg : .3f } °' 
    rad  =  f '∠ { radians ( deg ) : .3f } rad' 
    human  =  f '∠ { x // 3600 } ° { x // 60 % 60 } ′ { x % 60 } ″' return f ' { rad } = { human } = { num } '        
     


def  calc ( 
        current_timestamp :  float , 
        f :  float , 
        l_w :  float , 
        elevation :  float  =  0.0 , 
        * , 
        debugtz :  tzinfo  |  None  =  None , 
)  -> タプル[ float ,  float ,  None ]  | タプル[ None ,  None ,  bool ]: 
    log . debug ( f '緯度 f = { _deg2human ( f ) } ' ) 
    log . debug ( f '経度 l_w = { _deg2human ( l_w ) } ' ) 
    log . debug ( f '現在 ts = { _ts2human ( current_timestamp , debugtz ) } ' ) 

    J_date  =  ts2j ( current_timestamp ) 
    log . debug ( f 'ユリウス日 j_date = { J_date : .3f }日' )

    # ユリウス日
    # TODO: ceil ? 
    n  =  ceil ( J_date  -  ( 2451545.0  +  0.0009 )  +  69.184  /  86400.0 ) 
    log . debug ( f 'ユリウス日 n = { n : .3f }日' )

    # 平均太陽時
    J_  =  n  +  0.0009  -  l_w  /  360.0 
    log . debug ( f '平均太陽時 J_ = { J_ : .9f }日' )

    # 太陽平均異常
    # M_degrees = 357.5291 + 0.98560028 * J_ # 同じだが見栄えが悪い
    M_degrees  =  fmod ( 357.5291  +  0.98560028  *  J_ ,  360 ) 
    M_radians  =  radians ( M_degrees ) 
    log . debug ( f '太陽平均異常 M = { _deg2human ( M_degrees ) } ' )

    # 中心の方程式
    C_degrees  =  1.9148  *  sin ( M_radians )  +  0.02  *  sin ( 2  *  M_radians )  +  0.0003  *  sin ( 3  *  M_radians ) 
    # 最終的なプログラム結果の差は数ミリ秒です
    # https://www.astrouw.edu.pl/~jskowron/pracownia/praca/sunspot_answerbook_expl/expl-4.html 
    # e = 0.01671 
    # C_degrees = \ 
    # degrees(2 * e - (1 / 4) * e ** 3 + (5 / 96) * e ** 5) * sin(M_radians) \ 
    # + degrees(5 / 4 * e ** 2 - (11 / 24) * e ** 4 + (17 / 192) * e ** 6) * sin(2 * M_radians) \ 
    # + 度(13 / 12 * e ** 3 - (43 / 64) * e ** 5) * sin(3 * M_radians) \ 
    # + 度((103 / 96) * e ** 4 - (451 / 480) * e ** 6) * sin(4 * M_radians) \ 
    # + 度((1097 / 960) * e ** 5) * sin(5 * M_radians) \ 
    # + 度((1223 / 960) * e ** 6) * sin(6 * M_radians)

    log . debug ( f '中心の方程式 C = { _deg2human ( C_degrees ) } ' )

    # 黄道経度
    # L_degrees = M_degrees + C_degrees + 180.0 + 102.9372 # 同じですが、見栄えが悪いです
    L_degrees  =  fmod ( M_degrees  +  C_degrees  +  180.0  +  102.9372 ,  360 ) 
    log . debug ( f '黄道経度 L = { _deg2human ( L_degrees ) } ' )

    Lambda_radians  = ラジアン( L_degrees )

    # 太陽通過（ユリウス日）
    J_transit  =  2451545.0  +  J_  +  0.0053  *  sin ( M_radians )  -  0.0069  *  sin ( 2  *  Lambda_radians ) 
    log . debug ( f '太陽通過時間 J_trans = { _j2human ( J_transit , debugtz ) } ' ) 

    # 太陽の赤緯
    sin_d  =  sin ( Lambda_radians )  *  sin ( radians ( 23.4397 )) 
    # cos_d = sqrt(1-sin_d**2) # まったく同じ精度ですが、1.5 倍遅くなります
    cos_d  =  cos ( asin ( sin_d ))

    # 時角
    some_cos  =  ( sin ( radians ( - 0.833  -  2.076  *  sqrt ( elevation )  /  60.0 ))  -  sin ( radians ( f ))  *  sin_d )  /  ( cos ( radians ( f ))  *  cos_d ) 
    try : 
        w0_radians  =  acos ( some_cos ) 
    except  ValueError : 
        return  None ,  None ,  some_cos  >  0.0 
    w0_degrees  =  degrees ( w0_radians )   # 0...180

    log .debug ( f '時角 w0 = { _deg2human ( w0_degrees ) } ' )

    j_rise  =  J_transit  -  w0_degrees  /  360 
    j_set  =  J_transit  +  w0_degrees  /  360

    log . debug ( f '日の出 j_rise = { _j2human ( j_rise , debugtz ) } ' ) log . debug ( f '日の入り j_set = { _j2human ( j_set , debugtz ) } ' ) log . debug ( f '日の長さ                       { w0_degrees / ( 180 / 24 ) : .3f }時間' ) 
     
        

     j2ts ( j_rise )、 j2ts ( j_set )、 Noneを返す


def  main (): 
    logging.basicConfig ( level = logging.DEBUG ) latitude = 33.00801longitude = 35.08794elevation = 0print ( calc ( time ( ) , latitude , longitude , elevation , debuggtz = timezone ( timedelta ( hours = 3 ) , ' fake -zone' ) ) )
      
      
      
         


 __name__  ==  '__main__'の場合: 
    main ()

• 日の長さ
• 均時差

• あらゆる場所の日の出、日の入り、太陽の位置 – 米国のみ
• 世界中のあらゆる場所の日の出、日の入り、昼の長さ
• 日の出/日の入り/太陽面通過/薄暮データ – 米国のみ
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• おおよその太陽座標
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• 均時差を表す簡単な表現
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