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代数幾何学において、ケンプの普遍性定理は、代数曲線の任意の有界部分集合は、適切に選択されたリンク機構の関節の1つの動きによってトレースできると述べています。[ 1 ] これは、1876年にリンク機構によるn次平面曲線の記述に関する一般的方法についての論文[ 2 ]を発表したイギリスの数学者アルフレッド・B・ケンプにちなんで名付けられました。この論文では、任意の代数平面曲線に対して、その曲線を描くリンク機構を構築できることが示されました。しかし、ケンプの証明には欠陥があり、彼のアイデアに基づいて最初の完全な証明が2002年に提供されました。[ 3 ] [ 4 ]
この定理は、「自分の名前を署名するリンク機構を設計できる！」と説明することで広く知られるようになった。[ 5 ]
ケンペは、自身の研究結果が描画の連動性の存在を示していることを認識していたが、それは実用的ではないだろうと述べている。
言うまでもなく、この方法は、用いられる連結機構の複雑さゆえに、実際には役に立たないだろう。これは、証明の完全な一般性から必然的に生じる結果である。[ 2 ]
そして彼は、「数学の芸術家」に対し、この結果を達成するためのよりシンプルな方法を見つけるよう呼びかけている。
しかしながら、この方法は、あらゆる場合を描く方法が存在することを示す点で興味深い。また、すでに発見されている特定の関数を表現するさまざまな方法から、あらゆる場合においてより単純な方法が見つかる可能性が非常に高い。しかしながら、特定の曲線を記述する最も単純な連結法を発見するために、数学的芸術家にはまだ広い領域が残されている。[ 2 ]
ケンペの普遍性定理から生じるリンクワークを示す一連のアニメーションが、放物線、自己交差する3次曲線、滑らかな楕円3次曲線、および三葉曲線について利用可能です。[ 6 ]
ケンペの普遍性定理から生じる描画リンク機構を簡略化するために、いくつかの手法が用いられてきた。複雑さの一部は、ケンペが2つの角度の加算と減算、角度と定数の乗算、およびある位置のリンクの回転を別の位置の2番目のリンクの回転に変換するリンク機構に由来する。ケンペはこれらのリンク機構をそれぞれ加算リンク機構、反転リンク機構、乗算リンク機構、および変換リンク機構と呼んだ。描画リンク機構は、角度の加算と減算にベベルギア差動装置、角度の乗算にギアトレイン、回転角度の変換にベルトまたはケーブル駆動装置を使用することで簡略化できる。[ 7 ]
もう一つの複雑さの原因は、ケンペの応用がすべての代数曲線に一般化されていることです。パラメータ化された代数曲線に焦点を当てることで、デュアル四元数代数を使用して運動多項式を因数分解し、描画リンク機構を取得できます。[ 8 ] これは、エンドエフェクタの動きを実現するために拡張されていますが、これもパラメータ化された曲線の場合です。[ 9 ]
曲線を三角多項式で定義される曲線に特化することで、より単純な描画リンクを得る別の方法が提供されています。[ 10 ]ベジェ曲線は三角多項式の形で記述できるため、一連のベジェ曲線で近似される任意の曲線を描画するリンクシステムを設計できます。[ 11 ]
以下は、LiuとMcCarthy [ 10 ]によって設計された、トリフォリウム曲線（左）とハイポサイクロイド曲線（右）を描くために使用される、単一結合直列チェーン機構の例です。
