混合ボリューム

数学、より具体的には凸幾何学において、混合体積は、負でない数を内の凸体の組に関連付ける方法です。この数は、凸体のサイズと形状、および凸体同士の相対的な向きによって異なります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

を凸体とし、関数を考える。 ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

ここで は次元体積を表し、その引数はスケールされた凸体のミンコフスキー和である。 は次数の同次多項式であることが示され、次のように書ける。 ${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

ここで、関数は対称です。特定の指数関数 の場合、係数はの混合体積と呼ばれます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$

• 混合体積は、次の 3 つの特性によって一意に決定されます。

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$議論が対称的である。
3. ${\displaystyle V}$は多重線型です:の場合。${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$

• 混合体積は各変数に対して非負かつ単調に増加します。${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$
• アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフとヴェルナー・フェンチェルによって発見されたアレクサンドロフ・フェンチェルの不等式：

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

凸体のブルン・ミンコフスキー不等式やミンコフスキーの第1不等式など、数多くの幾何学的不等式は、アレクサンドロフ・フェンシェル不等式の特殊なケースです。

を凸体とし、を単位半径のユークリッド球とする。混合体積 ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {nj{\text{ 回}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ 回}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

はj次のクェルマス積分と呼ばれる。^[1]${\displaystyle K}$

混合体積の定義からシュタイナーの公式（ヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられた）が得られます。

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{ j}.}$

のj番目の固有体積は、次のように定義されるクェルマス積分の異なる正規化である。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{nj}(K)}{\kappa _{nj}}},}$言い換えれば${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{nj}(tB_ {ニュージ})。}$

ここで、次元単位球の体積です。 ${\displaystyle \kappa _{nj}={\text{Vol}}_{nj}(B_{nj})}$${\displaystyle (nj)}$

ハドヴィガーの定理は、連続かつ剛体運動に対して不変である における凸体上のすべての付値は、クェルマス積分（または、同等に、固有体積）の線形結合であると主張している。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Burago, Yu.D. (2001) [1994]、「混合体積理論」、数学百科事典、EMS プレス