鏡面反射光

フォン反射モデルでは、鏡面反射光の強度は次のように計算されます。

$${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }=\|R\|\|V\|\cos ^{n}\beta =({\hat {R}}\cdot {\hat {V}})^{n}}$$

ここで、Rは表面からの光ベクトルの鏡面反射であり、Vは視点ベクトルである。

ブリン・フォンシェーディングモデルでは、鏡面反射光の強度は次のように計算されます。

$${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }=\|N\|\|H\|\cos ^{n}\beta =({\hat {N}}\cdot {\hat {H}})^{n}}$$

ここで、Nは滑らかな表面の法線ベクトル、Hは半角方向（光源へのベクトルLと視点ベクトルVの中間の方向ベクトル）である。

nはフォン指数と呼ばれ、表面の見かけ上の滑らかさを制御するユーザーが選択する値です。これらの式は、マイクロファセット法線の分布がほぼガウス分布であることを示唆しています(n が大きい場合)。${\displaystyle n}$）、または対応する角度のピアソンII型分布に近似的に従います。 ^{[ 2 ]}これは有用なヒューリスティック であり、信頼できる結果を生み出しますが、物理的に根拠のあるモデルではありません。

もう一つ似たような式だが、計算方法が異なるもの：

${\displaystyle k=({\vec {L}}\cdot {\vec {R}})^{n}=[{\vec {L}}\cdot ({\vec {E}}-2{\vec {N}}({\vec {N}}\cdot {\vec {E}}))]^{n},}$

ここで、Rは目の反射ベクトル、Eは目ベクトル (ビューベクトル)、Nは表面法線ベクトルです。すべてのベクトルは正規化されています (${\displaystyle \|{\vec {E}}\|=\|{\vec {N}}\|=1}$Lは光ベクトルです。例えば、${\displaystyle {\vec {N}}=\{0;\;1;\;0\};\;\;{\vec {E}}=\{{\frac {\sqrt {3}}{2}};\;{\frac {1}{2}};\;0\};\;\;{\vec {L}}=\{-0.6;\;0.8;\;0\};\;\;n=3}$それから：

${\displaystyle k=[{\vec {L}}\cdot ({\vec {E}}-2{\vec {N}}({\vec {N}}\cdot {\vec {E}}))]^{n}=[{\vec {L}}\cdot ({\vec {E}}-2{\vec {N}}(0\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+1\cdot 0.5+0\cdot 0))]^{3}=}$

${\displaystyle =[{\vec {L}}\cdot ({\vec {E}}-{\vec {N}})]^{3}=[{\vec {L}}\cdot (\{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-0;\;{\frac {1}{2}}-1;\;0-0\})]^{3}=[-0.6\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+0.8\cdot (-0.5)+0\cdot 0]^{3}=(-0.5196-0.4)^{3}=0.9196^{3}=0.7777.}$

おおよその計算式は以下のとおりです。

${\displaystyle k=({\vec {N}}\cdot {\vec {H}})^{n}=({\vec {N}}\cdot (({\vec {L}}+{\vec {E}})/2))^{n}=({\vec {N}}\cdot ((\{-0.6+{\frac {\sqrt {3}}{2}};\;0.8+0.5;\;0+0\})/2))^{3}=({\vec {N}}\cdot ((\{0.266;\;1.3;\;0\})/2))^{3}=}$

${\displaystyle =({\vec {N}}\cdot (\{0.133;\;0.65;\;0\}))^{3}=(0\cdot 0.133+1\cdot 0.65+0)^{3}=0.65^{3}=0.274625.}$

ベクトルHが正規化されている場合${\displaystyle {\frac {{\vec {H}}\{0.133;\;0.65;\;0\}}{\|{\vec {H}}\|}}={\frac {{\vec {H}}\{0.133;\;0.65;\;0\}}{\sqrt {0.133^{2}+0.65^{2}}}={\frac {{\vec {H}}\{0.133;\;0.65;\;0\}}{0.668}}=\{0.20048;0.979701;0\},}$それから

${\displaystyle k=({\vec {N}}\cdot {\vec {H}})^{n}=(0\cdot 0.2+1\cdot 0.9797+0\cdot 0)^{3}=0.979701^{3}=0.940332.}$

ガウス分布を用いることで、マイクロファセット分布のより精度の高いモデルを作成できる。^{[ 3 ]} 通常の関数では、鏡面反射の強度を次のように計算する。

${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }=e^{-\left({\frac {\angle (N,H)}{m}}\right)^{2}}}$

ここで、mは0から1の間の定数であり、表面の見かけ上の滑らかさを制御する。^{[ 4 ]}

微細面分布の物理ベースモデルはベックマン分布である。^{[ 5 ]}

${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }={\frac {\exp {\left(-\tan ^{2}(\alpha )/\sigma ^{2}\right)}}{\pi \sigma ^{2}\cos ^{4}(\alpha )}},~\alpha =\arccos(N\cdot H)}$

どこ${\displaystyle \sigma }$は表面微細面のrms勾配（材料の粗さ）です。 ^{[ 6 ]}上記の経験的モデルと比較すると、この関数は「任意の定数を導入することなく反射率の絶対値を与えるが、欠点は計算量が多いことである」^{[ 7 ]} 。 しかし、このモデルは次のように簡略化できます。${\displaystyle \tan ^{2}(\alpha )/\sigma ^{2}={\frac {1-\cos ^{2}(\alpha )}{\cos ^{2}(\alpha )\sigma ^{2}}}}$また、${\displaystyle \cos(\alpha )}$そして、この関数が従う半球上で正規化された表面分布関数が与えられる。

ハイドリッヒ・ザイデル分布^{[ 8 ]}は、フォンモデルに基づく単純な異方性分布です。これは、つや消し金属、サテン、髪の毛など、小さな平行な溝や繊維を持つ表面をモデル化するために使用できます。

ワード異方性分布異方性を制御するために、ユーザーが制御可能な2つのパラメータαxとαyを使用します_{。2つのパラメータが等しい場合、等方的なハイライトが得られます。分布における鏡面反射項は次の}とおりです。

${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }={\frac {\rho _{s}}{\sqrt {(N\cdot L)(N\cdot V)}}}{\frac {N\cdot L}{4\pi \alpha _{x}\alpha _{y}}}\exp \left[-2{\frac {\left({\frac {H\cdot X}{\alpha _{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {H\cdot Y}{\alpha _{y}}}\right)^{2}}{1+(H\cdot N)}}\right]}$

鏡面反射項は、N · L < 0 またはN · V < 0 の場合にゼロになります。すべてのベクトルは単位ベクトルです。ベクトルVは視線方向、Lは表面点から光源への方向、HはVとLの間の半角方向、Nは表面法線、XとYは法線平面内の 2 つの直交ベクトルで、異方性方向を指定します。

クック・トーランスモデル^{[ 7 ]}は、次の形式の鏡面項を使用する。

${\displaystyle k_{\mathrm {spec} }={\frac {F}{\pi }}{\frac {DG}{(V\cdot N)(N\cdot L)}}}$。

ここで、Dは前述のベックマン分布係数、Fはフレネル項です。リアルタイム3Dグラフィックスでは、パフォーマンス上の理由から、フレネル項の近似にシュリック近似がよく用いられます。

Gは幾何学的減衰項であり、微細面による自己遮蔽を表し、次の形式をとる。

${\displaystyle G=\min {\left(1,{\frac {2(H\cdot N)(V\cdot N)}{V\cdot H}},{\frac {2(H\cdot N)(L\cdot N)}{V\cdot H}}\right)}}$。

これらの式において、Vはカメラまたは目へのベクトル、Hは半角ベクトル、Lは光源へのベクトル、Nは法線ベクトル、αはHとNの間の角度です。

必要に応じて、異なる分布（通常は、同じ分布関数を用い、mまたはnの値が異なるもの）を加重平均によって組み合わせることができます。これは、例えば、均一な粗さではなく、小さな滑らかな部分と粗い部分が混在する表面をモデル化する場合に役立ちます。