太陽の天頂角

太陽天頂角は太陽の天頂角、すなわち太陽光線と垂直方向との間の角度である。これは太陽高度または太陽高度の補角であり、太陽高度は太陽光線と水平面との間の高度角または仰角である。^{[1] [2]}太陽正午には天頂角は最小となり、緯度から太陽赤緯角を引いた値に等しくなる。これは古代の船乗りが海洋を航行する際の基礎であった。^[3]

太陽の天頂角は通常、太陽の方位角と組み合わせて使用​​され、地球表面の特定の場所から観測された 太陽の位置を決定します。

$${\displaystyle \cos \theta _{s}=\sin \alpha _{s}=\sin \Phi \sin \delta +\cos \Phi \cos \delta \cos h}$$

どこ

• ${\displaystyle \theta_{s}}$太陽の天頂角は
• ${\displaystyle \alpha_{s}}$太陽高度角は、${\displaystyle \alpha_{s}=90^{\circ}-\theta_{s}}$
• ${\displaystyle h}$地方太陽時における時角です。
• ${\displaystyle \delta}$現在の太陽の赤緯です
• ${\displaystyle \Phi}$は現地の緯度です。

余弦定理を天頂-極-太陽の球面三角形に適用することで公式を導くことができますが、球面三角法は比較的難解な主題です。

太陽直下の点の座標を導入し、ベクトル解析を使用することで、球面三角法を使わずに式を簡単に得ることができます。^[4]

地球中心地球固定（ECEF）地心直交座標系において、太陽直下の点と観測点の緯度と経度、または座標を と とすると、2点における上向きの単位ベクトルとは、 ${\displaystyle (\phi _{s},\lambda _{s})}$${\displaystyle (\phi _{o},\lambda _{o})}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {V} _{oz}}$

$${\displaystyle \mathbf {S} =\cos \phi _{s}\cos \lambda _{s}{\mathbf {i} }+\cos \phi _{s}\sin \lambda _{s}{ \mathbf {j} }+\sin \phi _{s}{\mathbf {k} },}$$ $${\displaystyle \mathbf {V} _{oz}=\cos \phi _{o}\cos \lambda _{o}{\mathbf {i} }+\cos \phi _{o}\sin \lambda _ {o}{\mathbf {j} }+\sin \phi _{o}{\mathbf {k} }.}$$

ここで、、およびはECEF座標系の基底ベクトルです。 ${\displaystyle {\mathbf {i} }}$${\displaystyle {\mathbf {j} }}$${\displaystyle {\mathbf {k} }}$

太陽の天頂角の余弦は、上記の2つのベクトルの ドット積である。${\displaystyle \theta_{s}}$

$${\displaystyle \cos \theta _{s}=\mathbf {S} \cdot \mathbf {V} _{oz}=\sin \phi _{o}\sin \phi _{s}+\cos \phi _{o}\cos \phi _{s}\cos(\lambda _{s}-\lambda _{o}).}$$

は太陽の赤緯と同じであり、 はと同等であることに注意してください。ここで、は前に定義した時角です。したがって、上記の形式は数学的には前に示したものと同一です。 ${\displaystyle \phi _{s}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \lambda _{s}-\lambda _{o}}$${\displaystyle -h}$${\displaystyle h}$

さらに、文献^[4]では球面三角法を使わずに同様の方法で 太陽方位角の式も導出している。

任意の日の任意の場所において、太陽の天頂角 は、時角、または、つまり、または のときに、地方太陽正午に最小値 に達します。 の場合、極夜になります。 ${\displaystyle \theta_{s}}$${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$${\displaystyle h=0}$${\displaystyle \lambda _{s}-\lambda _{o}=0}$${\displaystyle \cos \theta _{\text{min}}=\cos(|\phi _{o}-\phi _{s}|)}$${\displaystyle \theta _{\text{min}}=|\phi _{o}-\phi _{s}|}$${\displaystyle \theta _{\text{min}}>90^{\circ}}$

また、任意の場所の任意の日において、太陽の天頂角 は、現地の真夜中の 12 時に、時角または、つまり、または のときに、最大値 に達します。 の場合、それは極日です。 ${\displaystyle \theta_{s}}$${\displaystyle \theta _{\text{max}}}$${\displaystyle h=-180^{\circ}}$${\displaystyle \lambda _{s}-\lambda _{o}=-180^{\circ}}$${\displaystyle \cos \theta _{\text{max}}=\cos(180^{\circ }-|\phi _{o}+\phi _{s}|)}$${\displaystyle \theta _{\text{max}}=180^{\circ }-|\phi _{o}+\phi _{s}|}$${\displaystyle \theta _{\text{max}}}90^{\circ}}$

計算された値は、共通/測地緯度と地心緯度の違いによる近似値です。ただし、2 つの値の差は12分角未満であり、これは太陽の見かけの角度半径よりも小さいです。

この式は大気の屈折の影響も無視している。^[5]

日の出と日の入りは、天頂角が90°のときに（おおよそ）発生し、時角h _0は^[2]を満たす。 $${\displaystyle \cos h_{0}=-\tan \Phi \tan \delta .}$$

日の出と日の入りの正確な時刻は、大気によって屈折された太陽の上端が地平線上にあるように見えるときに発生します。

地球の局所アルベドを計算する際に使用される加重平均天頂角は、 Qが瞬間放射照度である、 という式で与えられる 。^[2]$${\displaystyle {\overline {\cos \theta _{s}}}={\frac {\displaystyle \int _{-h_{0}}^{h_{0}}Q\cos \theta _{s}\,{\text{d}}h}{\displaystyle \int _{-h_{0}}^{h_{0}}Q\,{\text{d}}h}}}$$

たとえば、太陽の仰角は次のようになります。

• 赤道上にいる場合は90°、春分、太陽時刻12時
• 日没時または日の出時に0°近く
• 夜間（真夜中）は -90° から 0° の間

正確な計算は太陽の位置に示されている。他の近似値は他にも存在する。^[6]

世界地図に重ねた太陽の真下点のおおよその日付と緯度。青い例はホノルルのラハイナ正午を示しています。

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