出産過程

出生率を伴う出産プロセス${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$初期値${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$最小限の右連続プロセスである${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$そのため${\displaystyle X_{0}=k}$到着間隔時間${\displaystyle T_{i}=\inf\{t\geq 0:X_{t}=i+1\}-\inf\{t\geq 0:X_{t}=i\}}$は、パラメータを持つ独立な指数分布に従う確率変数である。$\displaystyle \lambda _{i}}$[ ^{2 ]​}

出産プロセスと料金${\displaystyle (\lambda _{n},n\in \mathbb {N} )}$初期値${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$プロセス${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$すなわち、以下の通りである。

• ${\displaystyle X_{0}=k}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{s}\leq X_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t}+1)=\lambda _{X_{t}}h+o(h)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}=X_{t})=o(h)}$
• ${\displaystyle \forall s,t\geq 0:s<t\implies X_{t}-X_{s}}$独立している${\displaystyle (X_{u},u<s)}$

（3番目と4番目の条件では、小文字のo表記を使用しています。）

これらの条件により、プロセスは${\displaystyle i}$は減少せず、独立した単胎出産が継続的に発生している。$\displaystyle \lambda _{n}}$プロセスに価値がある場合${\displaystyle n}$[ ^{3 ]​}

出生過程は、連続時間マルコフ過程（CTMC）として定義できる。${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$非ゼロのQ行列要素を持つ${\displaystyle q_{n,n+1}=\lambda _{n}=-q_{n,n}}$初期分布${\displaystyle i}$（値をとる確率変数）${\displaystyle i}$確率1で。^{[ 4 ]}

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&0&\cdots \\0&-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\cdots \\0&0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \ddots \end{pmatrix}}}$

一部の著者は、出生プロセスが0から始まる必要があると述べている。${\displaystyle X_{0}=0}$^{[ 3 ]}一方、初期値を自然数の確率分布で与えることができるものもあります。 ^{[ 2 ]}爆発的な出生過程の場合、状態空間には無限が含まれることがあります。[ 2 ^]出生率は強度とも呼ばれます。^{[ 3 ]}

単純な出産プロセスは、${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$^{[ 10 ]}これは、各個体が繰り返し独立して出産する集団をモデル化しています。${\displaystyle \lambda }$ウドニー・ユールはこれらの過程を研究したため、ユール過程として知られることがある。^{[ 11 ]}

時間の経過に伴う出生数${\displaystyle t}$人口の単純な出生過程から${\displaystyle n}$は次のように与えられる：^{[ 3 ]}

${\displaystyle p_{n,n+m}(t)={\binom {n}{m}}(\lambda t)^{m}(1-\lambda t)^{nm}+o(h)}$

厳密に言えば、出生数はパラメータを持つ負の二項分布に従う。${\displaystyle n}$そして${\displaystyle e^{-\lambda t}}$特別な場合${\displaystyle n=1}$これは成功率の幾何分布です${\displaystyle e^{-\lambda t}}$[ ^{12 ]​}

プロセスの期待値は指数関数的に増加します。具体的には、${\displaystyle X_{0}=1}$それから${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=e^{\lambda t}}$[ ^{10 ]​}

移民を伴う単純な出生プロセスは、このプロセスを率を変えて修正したものである。${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda +\nu }$これは、人口の各メンバーによる出生に加えて、システムへの一定の移民率を伴う人口をモデル化したものです。^{[ 3 ]}