セクシーなプライム

数論において、セクシー素数とは、別の素数と6だけ異なる素数のことです。例えば、5と11はセクシー素数のペアです。なぜなら、どちらも素数であり、${\textstyle 11-5=6}$。

「セクシープライム」という用語は、ラテン語で「6」を意味する「sex」に由来する言葉遊びです。

p + 2またはp + 4 ( pは小さい方の素数) も素数である場合、セクシーな素数は素数トリプレットの一部です。

セクシー素数予想は、双子素数予想の弱い類似例である。この予想は、6だけ異なる素数のペアが無限に存在すると主張しており、これらのペアはセクシー素数として知られている。

p _nをn番目の素数とし、

${\displaystyle H_{m}=\liminf _{n\to \infty }(p_{n+m}-p_{n})}$

量H _mは、素数列においてm 個の位置で隔てられた素数の間に無限回出現する最小の間隔である。特に、セクシー素数予想は次の記述と同等である。

${\displaystyle H_{1}\leq 6}$、

これは、サイズが最大で6の素数ギャップが無限に発生することを主張している。2より大きい素数ギャップはすべて偶数であるため、これは無限に多くのセクシーな素数ペアが存在することと同等である。

2014年8月、双子素数予想の証明を求めていたポリマスグループは、一般化されたエリオット・ハルバースタム予想が証明されれば、最大で6だけ異なる連続素数のペアが無限に存在することを示すことができ、それらは双子素数、いとこ素数、またはセクシー素数のいずれかであることを示した^{[ 1 ]}。したがって、セクシー素数予想の証明は、一般化されたエリオット・ハルバースタム予想の証明と同等である。

500未満のセクシーな素数（OEISのシーケンスOEIS：A023201 とOEIS：A046117 ）は次のとおりです。

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).

唯一のセクシーな素数五つ組は（5,11,17,23,29）です。

• ワイススタイン、エリック・W. 「セクシーな素数」 . MathWorld .
• グライム、ジェームズ。ブレイディ・ハラン（編）。「セクシーな素数（そして唯一のセクシーな素数五つ組）」。Numberphile。 2018年10月23日にオリジナルからアーカイブ済み。