一般化された等差数列

数学において、一般化等差数列（または多重等差数列）とは、複数の公差を持つ等差数列の一般化である。等差数列は単一の公差によって生成されるのに対し、一般化等差数列は複数の公差によって生成される。例えば、数列は次のようになる。${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$これは等差数列ではなく、17 から始めて 3または5 を加えることで生成されるため、複数の公差で生成できます。半線形集合はこの考え方を多次元に一般化したもので、整数の集合ではなく、整数のベクトルの集合です。

次元dの有限一般化等差数列、または単に一般化等差数列 (GAP)は、次の形式の 集合として定義されます。$${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$$ どこ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$[ ^{1 ]}製品^​${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$一般化等差数列のサイズと呼ばれます。集合の要素が複数表現を持つ場合、集合の濃度はサイズと異なる場合があります。濃度がサイズと等しい場合、その数列は「真」と呼ばれます。一般化等差数列は、高次元グリッドをに投影したものと考えることができます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$この射影が単射であるのは、一般化された等差数列が適切な数列である場合に限る。

正式には、等差数列は${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$は、次の形式の無限数列です。${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$、 どこ${\displaystyle \mathbf {v} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} '}$固定ベクトル${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$それぞれ初期ベクトルと公差と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$が線形であるとは、次の形式である場合 をいう。$${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$$ どこ${\displaystyle m}$は整数で、${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$固定ベクトル${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$. サブセット${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$線形集合の有限個の和集合である場合、それは半線形であると言われる。

半線形集合は、プレスバーガー算術で定義可能な集合と全く同じである。^{[ 2 ] [ 3 ]}

• フライマンの定理