モファット渦は、 コーナーから漸近的に離れた距離で作用する任意の外乱により、平面壁で囲まれたコーナー (または壁と自由表面の間) で発生する 一連の 渦 です。運動の源は離れた距離にある任意の外乱ですが、渦はまったく独立して発生するため、これらの渦の解は、第 2 種の
自己相似解である固有値問題から生じます。
この渦は1964年に発見したキース・モファット にちなんで名付けられましたが 、 [1] 一部の結果は ウィリアム・レジナルド・ディーン とPEモンタニョンによって1949年にすでに得られていました。 [2] レイリー卿 も1911年に均質境界条件による角付近の流れの問題を研究しました。 [3]円錐内部のモファット渦は PNシャンカール によって解決されました 。 [4]
フローの説明 コーナー付近では、流れは ストークス流 であると仮定できる。2次元平面問題を、 流れ関数 によって定義される 速度成分を持つ円筒座標で記述すると 、
（ r 、 θ ）
{\displaystyle (r,\theta )}
（
あなた
r
、
あなた
θ
）
{\displaystyle (u_{r},u_{\theta })}
あなた
r
=
1 r
∂ ψ
∂ θ
、
あなた
θ
= −
∂ ψ
∂ r
{\displaystyle u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}
支配方程式は、単純に重調和方程式 であることが示されます 。方程式は、同次境界条件（角度で分離された2つの壁に対して取られる条件 ）
で解く必要があります。
∇
4
ψ = 0
{\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0}
2 α
{\displaystyle 2\alpha}
r > 0 、
θ = − α :
あなた
r
= 0 、
あなた
θ
= 0
r > 0 、
θ = α :
あなた
r
= 0 、
あなた
θ
= 0.
{\displaystyle {\begin{aligned}r>0,\ \theta =-\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\アルファ :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0.\end{aligned}}}
テイラー スクレイピングフローは この問題に似ているが、不均質境界条件が課される。解は固有関数展開によって得られる。 [5]
ψ =
∑
ん = 1
∞
あ
ん
r
λ
ん
ふ
λ
ん
（ θ ）
{\displaystyle \psi =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}r^{\lambda _{n}}f_{\lambda _{n}}(\theta )}
ここで、 は定数であり、固有値の実部は常に1より大きい。固有値は 角度の関数となる が、いずれの場合も固有関数は次のように記述できる 。
あ
ん
{\displaystyle A_{n}}
λ
ん
{\displaystyle \lambda_{n}}
α
{\displaystyle \alpha}
λ
{\displaystyle \lambda}
ふ
0
= あ + B θ + Ｃ
θ
2
+ だ
θ
3
、
ふ
1
= あ コス θ + B 罪 θ + Ｃ θ コス θ + だ θ 罪 θ 、
ふ
2
= あ コス 2 θ + B 罪 2 θ + Ｃ θ + だ 、
ふ
λ
= あ コス λ θ + B 罪 λ θ + Ｃ コス （ λ − 2 ） θ + だ 罪 （ λ − 2 ） θ 、 λ ≥ 2.
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=A+B\theta +C\theta ^{2}+D\theta ^{3},\\f_{1}&=A\cos \theta +B\sin \theta +C\theta \cos \theta +D\theta \sin \theta ,\\f_{2}&=A\cos 2\theta +B\sin 2\theta +C\theta +D,\\f_{\lambda }&=A\cos \lambda \theta +B\sin \lambda \theta +C\cos(\lambda -2)\theta +D\sin (\lambda -2)\theta ,\quad \lambda \geq 2.\end{aligned}}}
反対称解の場合、固有関数は偶数であり、したがって 境界条件は を要求する 。方程式は ° のとき実根を持たない。これらの複素固有値は、確かにモファット渦に対応する。複素固有値は、 次の
ように与えられる。
B = だ = 0
{\displaystyle B=D=0}
罪 2 （ λ − 1 ） α = − （ λ − 1 ） 罪 2 α
{\displaystyle \sin 2(\lambda -1)\alpha =-(\lambda -1)\sin 2\alpha }
2 α < 146
{\displaystyle 2\alpha <146}
λ
ん
= 1 + （ 2 α
）
− 1
（
ξ
ん
+ 私
η
ん
）
{\displaystyle \lambda _{n}=1+(2\alpha )^{-1}(\xi _{n}+i\eta _{n})}
罪 ξ cosh
η
=
−
k
ξ
,
cos
ξ
sinh
ξ
=
−
k
η
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \xi \cosh \eta &=-k\xi ,\\\cos \xi \sinh \xi &=-k\eta .\end{aligned}}}
ここ 。
k
=
sin
2
α
/
2
α
{\displaystyle k=\sin 2\alpha /2\alpha }
参照
参考文献
^ Moffatt, HK (1964). 「鋭角コーナー付近の粘性渦と抵抗渦」. 流体力学ジャーナル . 18 (1): 1–18. Bibcode :1964JFM....18....1M. doi :10.1017/S0022112064000015. S2CID 123251976. ^ Dean, WR; Montagnon, PE (1949). 「コーナーにおける粘性液体の定常運動について」. ケンブリッジ哲学協会数学紀要 . 45 (3). ケンブリッジ大学出版局: 389–394. Bibcode :1949PCPS...45..389D. doi :10.1017/S0305004100025019. S2CID 122817160. ^ レイリー、L. (1911)。XXIII. 流体力学ノート。ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル、21(122)、177-195。 ^ Shankar, PN (2005). 「円錐内のモファット渦」. Journal of Fluid Mechanics . 539 : 113–135. Bibcode :2005JFM...539..113S. doi :10.1017/S0022112005005458 (2024年11月29日非アクティブ). S2CID 58910487. {{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)^ Shankar, PN (2007). 低速粘性流: 複素固有関数展開を使用した定性的特徴と定量的分析 (CD-ROM 付き). World Scientific.
