ルディン・シャピロ系列

数学において、ルーディン・シャピロ数列は、ゴレイ・ルーディン・シャピロ数列とも呼ばれ、その性質を研究したマルセル・ゴレイ、ハロルド・S・シャピロ、ウォルター・ルーディンにちなんで名付けられた無限2自動数列である。^[1]

ルディン・シャピロ数列の各項は または である。の2項展開が次のように与えられる 場合、${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k},}$

それから

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n)。}$

(のバイナリ展開でブロック 11 が出現する回数も同様です。) ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle n}$

ルディン・シャピロ数列は次のように定義される。 ${\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}$

${\displaystyle r_{n}=(-1)^{u_{n}}.}$

したがって、が偶数の場合、が奇数の場合となる。^{[2] [3] [4]}${\displaystyle r_{n}=1}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle r_{n}=-1}$${\displaystyle u_{n}}$

この数列は完全なルディン・シャピロ数列として知られており、 から始まり、その最初のいくつかの項は次のようになります。 ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle n=0}$

0、0、0、1、0、0、1、2、0、0、0、1、1、1、2、3、...（OEISのシーケンスA014081）

ルディン・シャピロ数列の 対応する項は次の通りである。${\displaystyle r_{n}}$

+1、+1、+1、−1、+1、+1、−1、+1、+1、+1、+1、−1、−1、−1、+1、−1、... ( OEISの配列A020985 )

たとえば、6の 2 進表現は 110 であり、これには 11 が 1 回含まれています。一方、7 の 2 進表現は 111 であり、これには 11 が 2 回 (重複して) 含まれています。 ${\displaystyle u_{6}=1}$${\displaystyle r_{6}=-1}$${\displaystyle u_{7}=2}$${\displaystyle r_{7}=1}$

ルディン・シャピロ系列はゴレイ^{[5] [6]}ルディン^[7]シャピロ^[8]によって独立に導入された。以下はルディンの動機の説明である。フーリエ解析では、測定可能な関数のノルムがしばしば問題となる。このノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f\colon [0,2\pi )\to [0,2\pi )}$

${\displaystyle ||f||_{2}=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\right)^{1/2}.}$

の各要素が である任意のシーケンスに対して、 ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \{1,-1\}}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\geq \left|\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|\right|_{2}={\sqrt {N}}.}$

さらに、それぞれが に含まれるほぼすべてのシーケンスに対して、 ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \{-1,1\}}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}a_{n}e^{inx}\right|=O({\sqrt {N\log N}}).}$^[9]

しかし、ルディン・シャピロ数列はより厳しい境界を満たす：^[10]定数が存在する。 ${\displaystyle (r_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\sum _{0\leq n<N}r_{n}e^{inx}\right|\leq C{\sqrt {N}}.}$

をとることができると推測されていますが、^[11]であることがわかっていますが、^[12]現在公開されている最良の上限は です。^[13]をn番目のシャピロ多項式とします。すると、 のとき、上記の不等式は の上限を与えます。最近では、の係数の大きさの上限も与えられています。^[14]${\displaystyle C={\sqrt {6}}}$${\displaystyle C\geq {\sqrt {6}}}$${\displaystyle C\leq (2+{\sqrt {2}}){\sqrt {3/5}}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle N=2^{n}-1}$${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }|P_{n}(e^{ix})|}$${\displaystyle |P_{n}(z)|^{2}}$${\displaystyle |z|=1}$

シャピロは多項式が

${\displaystyle P_{n}(z)=\sum _{i=0}^{2^{n}-1}r_{i}z^{i}}$

ここで、はルディン・シャピロ数列であり、 は複素単位円上で によって制限される絶対値を持ちます。これについては、シャピロ多項式の記事で詳しく説明します。ゴレイの動機も同様でしたが、彼は分光法への応用に関心があり、光学ジャーナルに論文を発表しました。 ${\displaystyle (r_{i})_{i\geq 0}}$${\displaystyle 2^{\frac {n+1}{2}}}$

ルディン・シャピロ系列は、非負整数の2進表現を入力として受け取る4状態オートマトンによって生成できる。 ^[15]したがって、系列は2オートマトンであり、コブハムの小定理により、不動点を持つ2一様 射と、となる符号化が存在する。ここで、はルディン・シャピロ系列である。しかし、ルディン・シャピロ系列は、ある一様射の不動点だけでは表現できない。^[16]${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle r=\tau (w)}$${\displaystyle r}$

再帰的な定義がある^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}r_{2n}&=r_{n}\\r_{2n+1}&=(-1)^{n}r_{n}\end{cases}}}$

ルディン・シャピロ数列の項r _nとu _nの値は、次のように再帰的に求めることができる。n = m · 2 ^k （ mは奇数） の場合、

${\displaystyle u_{n}={\begin{cases}u_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\u_{(m-1)/2}+1&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

${\displaystyle r_{n}={\begin{cases}r_{(m-1)/4}&{\text{if }}m\equiv 1{\pmod {4}}\\-r_{(m-1)/2}&{\text{if }}m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

したがって、u ₁₀₈ = u ₁₃ + 1 = u ₃ + 1 = u ₁ + 2 = u ₀ + 2 = 2であり、これは、108の2進表現である1101100に2つの部分文字列11が含まれていることを観察することによって確認できます。したがって、r ₁₀₈ = (−1) ² = +1です。

Rudin-Shapiro シーケンスを生成するためのコーディングを必要とする2 均一射は次のとおりです。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :a&\to ab\\b&\to ac\\c&\to db\\d&\to dc\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau :a&\to 1\\b&\to 1\\c&\to -1\\d&\to -1\end{aligned}}}$$

ルディン・シャピロ語 +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ...は、ルディン・シャピロ列の項を連結して作成され、射影規則または文字列置換規則 の不動点である。

+1 +1 → +1 +1 +1 −1

+1 −1 → +1 +1 −1 +1

−1 +1 → −1 −1 +1 −1

−1 −1 → −1 −1 −1 +1

次のように：

+1 +1 → +1 +1 +1 −1 → +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 → +1 +1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 + 1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 ...

射影規則から、ルディン・シャピロ文字列には最大で 4 つの連続する +1 と最大で 4 つの連続する -1 が含まれることがわかります。

ルディン・シャピロ数列の部分和の列は、次のように定義される。

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}r_{k}\,,}$

価値観を持つ

1、2、3、2、3、4、3、4、5、6、7、6、5、4、5、4、...（OEISの配列A020986）

不等式を満たすことが証明できる

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{5}}n}}<s_{n}<{\sqrt {6n}}{\text{ for }}n\geq 1\,.}$^[1]

を 上のルディン・シャピロ列とすると、は の基数 2 の展開におけるブロックの出現回数（重複する場合もある）を法として 2 とする。すると、生成関数 ${\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle 11}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\sum _{n\geq 0}s_{n}X^{n}}$

満足する

${\displaystyle (1+X)^{5}S(X)^{2}+(1+X)^{4}S(X)+X^{3}=0,}$

上の形式的な冪級数として代数的となる。^[17]上のの代数性は、クリストルの定理により、の2-自動性から導かれる。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}$${\displaystyle S(X)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}(X)}$${\displaystyle (s_{n})_{n\geq 0}}$

正方形に沿ったルディン・シャピロ数列は正規分布である。^[18]${\displaystyle (r_{n^{2}})_{n\geq 0}}$

完全なルディン・シャピロ数列は、次の一様分布の結果を満たす。 ならば、 が存在する。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha =\alpha (x)\in (0,1)}$

${\displaystyle \sum _{n<N}\exp(2\pi ixu_{n})=O(N^{\alpha })}$

これは、すべての無理数 を法として一様分布していることを意味します。^[19]${\displaystyle (xu_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$

nの2進展開は次のように表される。

${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)2^{k}}$

ここで、完全なルディン・シャピロ数列は次のように定義される。 ${\displaystyle \epsilon _{k}(n)\in \{0,1\}}$

${\displaystyle u(n)=\sum _{k\geq 0}\epsilon _{k}(n)\epsilon _{k+1}(n).}$

させて

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{k}(n)={\begin{cases}\epsilon _{k}(n)&{\text{if }}k\leq N-1,\\\epsilon _{0}(n)&{\text{if }}k=N.\end{cases}}}$

それでは

${\displaystyle u(n,N)=\sum _{0\leq k<N}{\tilde {\epsilon }}_{k}(n){\tilde {\epsilon }}_{k+1}(n).}$

最後に、

${\displaystyle S(N,x)=\sum _{0\leq n<2^{N}}\exp(2\pi ixu(n,N)).}$

1次元イジングモデルの分割関数は次のように定義できることを思い出してください。サイトの数を表す を固定し、結合定数と外部磁場の強さを表す定数と を固定します。各 の重みのシーケンスを選択します。各 のスピンのシーケンスに対して、そのハミルトニアンを次のように定義します。 ${\displaystyle N\geq 1}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle H>0}$${\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}$${\displaystyle \eta _{i}\in \{-1,1\}}$${\displaystyle \sigma =(\sigma _{0},\dots ,\sigma _{N-1})}$${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$

${\displaystyle H_{\eta }(\sigma )=-J\sum _{0\leq k<N}\eta _{k}\sigma _{k}\sigma _{k+1}-H\sum _{0\leq k<N}\sigma _{k}.}$

を温度を表す定数（任意の非ゼロ複素数）とし、をボルツマン定数 とします。分配関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \beta =1/(kT)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(\eta ,J,H,\beta )=\sum _{\sigma \in \{-1,1\}^{N}}\exp(-\beta H_{\eta }(\sigma )).}$

そして、

${\displaystyle S(N,x)=\exp \left({\frac {\pi iNx}{2}}\right)Z_{N}\left(1,{\frac {1}{2}},-1,\pi ix\right)}$

ここで重み列はすべてのに対してを満たす。^[20]${\displaystyle \eta =(\eta _{0},\dots ,\eta _{N-1})}$${\displaystyle \eta _{i}=1}$${\displaystyle i}$

• シャピロ多項式

• アルーシュ、ジャン=ポール、シャリット、ジェフリー(2003)。自動シーケンス: 理論、アプリケーション、一般化。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-82332-6.ZBL1086.11015  。​
• エベレスト、グラハム; ファン・デル・ポルテン、アルフ; シュパルリンスキー、イゴール; ワード、トーマス (2003)。再帰シーケンス。数学サーベイおよびモノグラフ。第 104 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3387-1.ZBL1033.11006  。​
• ピテアス・フォッグ、N. (2002)。Berthé, ヴァレリー;フェレンチ、セバスチャン。モーデュイ、クリスチャン。シーゲル、アン (編)。力学、算術、組み合わせ論における置換。数学の講義ノート。 Vol. 1794年。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-44141-7.ZBL1014.11015  .​
• メンデス・フランス、ミシェル (1990)。「ルディン・シャピロ系列、イジング鎖、および折り紙」。Berndt 、Bruce C.、Diamond、Harold G.、Halberstam、Heini他編。解析的数論。1989 年 4 月 25 ～ 27 日にイリノイ大学アーバナ校 (米国) で開催された Paul T. Bateman 記念会議の議事録。Progress in Mathematics。第 85 巻。ボストン: Birkhäuser。pp. 367 ～390。ISBN 0-8176-3481-9.ZBL0724.11010  。​