シャピロ多項式

数学において、シャピロ多項式は、 1951年にハロルド・S・シャピロが特定の三角関数の和の大きさを検討する際に初めて研究した多項式の列である。^[1]信号処理において、シャピロ多項式は自己相関特性が良好で、単位円上の値が小さい。^[2] 列の最初の数要素は以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2​​}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\end{aligned}}}$

ここで、 Qで示される2番目の配列は、 Pで示される1番目の配列と相補的であると言われます。

シャピロ多項式P _n ( z ) は、ゴレイ・ルディン・シャピロ数列 a _nから構築できます。これは、 nの 2 進展開で連続する 1 のペアの数が偶数の場合は 1 になり、そうでない場合は -1 になります。したがって、a ₀  = 1、 a ₁  = 1、a ₂  = 1、a ₃  = -1 などです。

最初のシャピロP _n ( z )は、2 ⁿ  − 1次（n  = 0, 1, 2, ...）のべき級数の部分解和である。

f ( z ) := a ₀ + a ₁  z + a ₂  z ² + ...

Golay-Rudin-Shapiro 数列 { a _n } はフラクタルのような構造を持ちます (たとえば、a _n  =  a _{2 n} )。これは、部分数列 ( a ₀、  a ₂、  a ₄、...) が元の数列 { a _n } を複製することを意味します。これにより、 f ( z )が満たす注目すべき関数方程式が導かれます。

2番目または補完的なシャピロ多項式Q _n ( z )は、この数列、または関係Q _n ( z ) = (1-) ⁿ z ^{2 n -1} P _n (-1/ z )、または再帰 によって定義される。

${\displaystyle P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).}$

P _nに対応する相補多項式のシーケンスQ _nは、次の特性によって一意に特徴付けられます。

• (i) Qn_は²ⁿ −1次である。
• (ii) Q _nの係数はすべて1または-1であり、その定数項は1に等しい。
• (iii) 複素変数zの絶対値が1であるとき、単位円上で恒等式| P _n ( z )| ² + | Q _n ( z )| ² = 2 ^{( n  + 1)が成立する。}

{ P _n }の最も興味深い特性は、 P _n ( z )の絶対値が単位円上で2 ^{( n  + 1)}の平方根で制限され、それがP _nのL ²ノルムのオーダーであることです。単位円上の最大係数が平均係数に近い集合 {−1, 1} からの係数を持つ多項式は、通信理論のさまざまな用途（アンテナ設計やデータ圧縮など）に役立ちます。特性 (iii) は、 ( P、  Q ) がゴレイペアを形成することを示しています。

これらの多項式にはさらに次のような性質がある: ^[3]

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,}$

${\displaystyle P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_ {n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,}$

${\displaystyle P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^{n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.\,}$

• リトルウッド多項式

• ボルウェイン、ピーター B (2002)。解析と数論における計算エクスカーション。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-95444-8. 2007年3月30日閲覧。第4章。
• メンデス・フランス、ミシェル (1990)。「ルディン・シャピロ系列、イジング鎖、および折り紙」。Berndt 、Bruce C.、Diamond、Harold G.、Halberstam、Heini他編。解析的数論。1989 年 4 月 25 ～ 27 日にイリノイ大学アーバナ校 (米国) で開催された Paul T. Bateman 記念会議の議事録。Proceedings in Mathematics。第 85 巻。ボストン: Birkhäuser。pp. 367 ～390。ISBN 978-0-8176-3481-0.ZBL0724.11010  。​