ラウスの定理

幾何学において、ラウスの定理は、与えられた三角形と、3 つのセビアンの 2 つの交差によって形成される三角形の面積比を決定します。定理は、三角形の 点、、 が線分 、 、 上にある場合、、、 と書くと、セビアン、、によって形成される三角形の符号付き面積は ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x}$${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}$${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle CF}$

${\displaystyle S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}$

三角形の面積はどこですか。 ${\displaystyle S_{ABC}}$${\displaystyle ABC}$

この定理は、エドワード・ジョン・ラウスが 1896 年に著した「解析静力学に関する論文集」の 82 ページで示されました。この特定のケースは、面積が 7 分の 1 の三角形として広く知られています。このケースは、3 つの中線が (重心を通じて) 一致することを意味します。 ${\displaystyle x=y=z=2}$${\displaystyle x=y=z=1}$

三角形の面積が1であると仮定する。三角形と直線について、メネラウスの定理は次を意味する。 ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABD}$${\displaystyle FRC}$

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$。

すると三角形の面積は ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$${\displaystyle ARC}$

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

同様の議論により、そして。したがって三角形の面積は ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$${\displaystyle PQR}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}$

ラウスの定理の引用文献としてよく挙げられるのは、ラウスの『解析静力学に関する論文集、多数の例』第 1 巻、第 4 章、1896 年第 2 版の 82 ページです。おそらく、その版の方が見つけやすかったからでしょう。しかし、ラウスは 1891 年第 1 版、第 1 巻、第 4 章、89 ページですでにこの定理を述べています。版によってページ番号は異なりますが、関連する脚注の文言は同じままです。ラウスは、この拡張された脚注を次のような警告で締めくくっています。

「著者は、2 つの三角形の面積を表すこれらの表現に出会ったことはありません。そのため、本文の議論をより簡単に理解できるように、ここにこれらの表現を配置しました。」

おそらくラウスは、版を重ねるごとに状況は5年経っても変わっていないと感じていたのだろう。一方、ラウスの本のタイトルは、以前にアイザック・トッドハンターによって使われており、両者ともウィリアム・ホプキンスによって指導を受けていた。

ラウスはこの定理を彼の著書で発表したが、最初に発表された記述と証明は、その年のケンブリッジ数学トリポスである『1878年のケンブリッジ上院の問題と解答』の33ページの補足事項(vii)として知られている。ローマ数字の使われているそのセクションの問題の著者は、ジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャーであり、彼はこの本全体の編集も行った。ラウスは、彼の著書が出版された当時はよく知られたトリポスのコーチであり、1878年のトリポス試験の内容に精通していたことは間違いないが、上で引用した彼の発言が示唆するように、彼はおそらくその間の13年間に定理の出典を忘れていた。

この精神の問題は、娯楽数学や数学教育学において長い歴史があるが、おそらくその最も古い例の 1 つは、ストマキオン盤の 14 領域の比率の決定であろう。ケンブリッジ大学のラウスのことを念頭に置くと、リチャード・ファインマンに関連するとされる面積が 1/7 の三角形は、例えば、トリニティ・カレッジのロバート・ポッツ(1805-1885) が 1859 年に出版した『ユークリッドの幾何学原論 (第 5 学派版)』の 80 ページにある質問 100に出てくる。同じページにある質問 98、99 も参照のこと。ポッツは 1832 年に第 26 代ラングラーとなり、その後、ホプキンスやラウスと同様、ケンブリッジ大学で指導に当たった。ポッツの幾何学に関する解説的な著作は、1862 年の万国博覧会でメダルを受賞したほか、名誉ある賞も受賞した。バージニア州ウィリアムズバーグのウィリアム・アンド・メアリー大学で法学博士号を取得。

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