ロバーツの三角形定理

ロバーツの三角形定理は離散幾何学における定理で、あらゆる単純な直線の配置には少なくとも三角形の面があることを述べています。つまり、3本の直線は三角形を形成し、4本の直線は少なくとも2つの三角形を形成し、5本の直線は少なくとも3つの三角形を形成します。この定理は1889年に発表したイギリスの数学者サミュエル・ロバーツにちなんで名付けられました^{。[1] [2]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$

この定理は、ユークリッド平面上のすべての単純な直線配置には、少なくとも三角形の面があるというものです。ここで、配置が単純であるとは、2 本の平行線がなく、同じ点を通る 3 本の線がないことを意味します。面とは、配置によって形成される多角形の 1 つですが、どの線も交差しません。面は有界面でも無限面でもかまいませんが、定理の目的上、正確に 3 辺を持つ有界面のみが三角形としてカウントされます。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$

正確に三角形の面を持つ線を配置する方法の 1 つは、半円に接する線を選択することです。このように配置された線の場合、三角形になるのは、連続する接点を持つ 3 本の線によって形成されるものだけです。この配置の他の面は、有界四辺形か、無界四辺形のいずれかです。線には連続する 3 辺がある ため、三角形も存在します。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-2}$

ブランコ・グリュンバウムは、ロバーツの原著論文の証明を「説得力に欠ける」とみなし、^{[3] [4]}、ロバーツの定理の最初の正しい証明は1979年のロバート・W・シャノンによるものだとしている。^{[1] [5]}彼は代わりに、アレクセイ・ベロフがロシア語で初めて発表した、より基本的な次の議論を提示している。^{[1] [6]}これは、同じ定理のより弱いバージョンに暗黙的に依存しており、それによれば、3本以上の直線の単純な配置には、少なくとも1つの三角形の面がある。これは、配置に直線を追加しても三角形の面の数は減らないという事実から簡単に帰納的に導かれる。直線が既存の三角形を切断する場合、結果として生じる2つの部分のうちの1つは再び三角形になる。直線を追加すると三角形の数が常に増加するというより強い真実であれば、同様の帰納的帰納によってロバーツの定理が証明されるが、それは真実ではない。直線を追加した後、三角形の数が変わらない配置が存在する。^[1]

代わりに、ベロフは次のような議論をしています。与えられた線がすべて傾きを変えずに動かされた場合、その新しい位置は、各線の元の位置からのオフセットである実数系で記述できます。各三角形の面には、3 本の線のオフセットに関する線形方程式があり、それが満たされると、面は元の面積を維持します。三角形の数が 3 より少ない場合(制約する方程式の数よりも変数の数の方が多いため)、2 本の線を固定し、残りのすべての線を同時に線形移動させて、傾きを固定したまま三角形の面積をすべて維持することが可能になります。このような動きは、単純ではない配置を通過する必要があります。たとえば、移動する線のうちの 1 本が 2 本の固定された線の交差点を通過する場合などです。移動する線が最初に単純ではない配置を形成する時点では、3 本以上の線が 1 点で交わります。これらの線が交わる直前に、この線の部分集合には面積が 0 に近づく三角形の面 (元の配置にも存在する) があります。しかし、これは面の面積の不変性と矛盾します。この矛盾は、三角形の数が より少ないという仮定が真実ではないことを示しています。^{[1] [6]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-2}$

ロバーツの定理は与えられた本数の線で作られる三角形の数が最小となる問題であるのに対し、関連するコボンの三角形問題は、作られる三角形の数の最大値となる問題である。^[3] 2つの問題は に関して既に異なっており、ロバーツの定理は3つの三角形が存在することを保証するが、コボンの三角形問題の解は5つの三角形となる。^[1]${\displaystyle n=5}$

ロバーツの定理は、単純な直線配置から、いくつかの非単純な配置、ユークリッド平面ではなく射影平面上の配置、高次元空間における超平面の配置へと一般化することができる。 ^[5]直線配置を超えて、ロバーツの定理と同じ制限が擬似直線の配置にも当てはまる。^[7]