右グループ

数学において、右群^{[1] [2]は、右群の}公理に従い、2つの要素を3番目の要素に結合する二項演算を伴う集合からなる代数構造である。右群の公理は群の公理に似ているが、群は恒等元を1つしか持てず、どの要素も逆元を1つしか持てないのに対し、右群では片側恒等元と 片側逆元を複数持つことができる。

右群は右零半群と群の直積に同型であることが証明できる（^[2]の定理1.27）。一方、右アーベル群^{[1]は右零半群と}アーベル群の直積である。左群^{[1] [2]}と左アーベル群^[1]は、定義で右を左に置き換えることにより、同様の方法で定義される。この記事の残りの部分では、主に右群について扱うが、適切な右/左の置き換えを行うことで、すべてが左群にも当てはまる。

右群は、もともと多重群と呼ばれ、^{[3] [4]}二項演算⋅を持つ集合であり、次の公理を満たす: ^[4]${\displaystyle R}$

閉鎖

におけるすべてのおよびに対して、となる に元c が存在します。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle c=a\cdot b}$

結合性

全員、。​${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

左単位元

には少なくとも 1 つの左単位元が存在します。つまり、内のすべての に対してとなるような元が存在します。このような元は一意である必要はありません。${\displaystyle R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e\cdot a=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

右逆元

の任意の元と、また の任意の単位元に対して、となる元が に少なくとも 1 つ存在します。このような元はに関する の右逆元であるといわれます。${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle e}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a\cdot b=e}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$

次の例は、によって提供されています。^[4]右零半群である群 を取り、との直積として右群を構築します。 ${\displaystyle G=\{e,a,b\}}$${\displaystyle Z=\{1,2\}}$${\displaystyle R_{gz}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle G}$は、単に位数3の巡回群であり、 はその恒等群、および は互いの逆群です。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle Z}$は位数 2 の右零半群です。定義により、 の任意のおよびに対してとなるため、各要素はその列に沿って繰り返されることに注目してください。 ${\displaystyle x\cdot y=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Z}$

これら 2 つの構造の直積は 次のように定義されます。 ${\displaystyle R_{gz}=G\times Z}$

• の要素は、が に含まれ、 がに含まれるような順序付きペアです。${\displaystyle R_{gz}}$${\displaystyle (g,z)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Z}$
• 演算は要素ごとに定義されます。 ${\displaystyle R_{gz}}$

  フォーミュラ1:${\displaystyle (x,y)\cdot (u,v)=(xu,v)}$

の要素は、 などのようになります。簡潔にするために、これらを などと名前変更しましょう。のケーリー表は次のとおりです。 ${\displaystyle R_{gz}}$${\displaystyle (e,1),(e,2),(a,1)}$${\displaystyle e_{1},e_{2},a_{1}}$${\displaystyle R_{gz}}$

以下は に関するいくつかの事実です: ${\displaystyle R_{gz}}$

• ${\displaystyle R_{gz}}$には 2 つの左アイデンティティがあります:と。例: ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$

  ${\displaystyle e2\cdot b1=b1}$

  ${\displaystyle e1\cdot a2=a2}$

• 各要素には 2 つの右逆があります。たとえば、とに関するの右逆はそれぞれとです。 ${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

  ${\displaystyle a2\cdot b1=e1}$

  ${\displaystyle a2\cdot b2=e2}$

クリフォードは複素数に関する2番目の例^[4]を示しています。2つの非ゼロ複素数aとbが与えられたとき、次の演算は右群を形成します。

${\displaystyle a\cdot b=|a|\,b}$

係数が 1 であるすべての複素数は左単位元であり、すべての複素数は任意の左単位元に対して右逆数を持ちます。

この右群の内部構造は、極座標を使用すると明らかになります。 およびとします。ここで、AとBはそれぞれaとbの大きさ、引数(角度)です。(これは複素数の通常の乗算​​ではありません) すると になります。大きさと引数を順序付きペアとして表すと、次のように書くことができます。 ${\displaystyle a=Ae^{i\alpha }}$${\displaystyle b=Be^{i\beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle Ae^{i\alpha }\cdot Be^{i\beta }=ABe^{i\beta }}$

式2:${\displaystyle (A,\alpha )\cdot (B,\beta )=(AB,\beta )}$

この右群は、群（乗算による正の実数）と実数によって誘導される右ゼロ半群の直積です。構造的には、これは上記の式 1 と同じです。実際、右群のすべての演算は、その因数の直積の順序付きペアとして記述すると、このようになります。

複素数と を取り、例 2 と同様の演算を定義しますが、極座標の代わりに直交座標を使用し、乗算の代わりに加算を使用すると、別の右グループが得られ、演算は次のように定義されます。

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=a+c+di}$または同等:

式3:${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(a+c,d)}$

コンピュータ サイエンスからの次の例を考えてみましょう。ここでは、セットがプログラミング言語の型として実装されます。

• 任意のプログラミング言語での日付時刻の集合を とします。${\displaystyle X}$
• を の要素に持続時間を追加することと同等の変換の集合とします。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$
• を の要素上のタイムゾーン変換の集合とします。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

と は両方とものサブセットであり、上の完全な変換半群です。は、持続時間がゼロで、すべての持続時間が逆持続であるグループ のように動作します。 これらの変換を右半群アクションとして扱うと、は右ゼロ半群のように動作し、タイムゾーン変換は、指定された日付時刻における以前のタイムゾーン変換を常にキャンセルします。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle T_{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Z}$

任意の 2 つの日付時刻と(表現の境界に関する問題は無視します) が与えられると、に変換される期間とタイム ゾーンのペアを見つけることができます。このタイム ゾーン変換と期間の追加による複合変換は、右のグループ と同型です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D\times Z}$

java.timeパッケージを例にとると、^[5]集合とがそれぞれクラスZonedDateTime、関数plus、関数withZoneSameInstantに対応します。より具体的には、任意のZonedDateTime t 1とt 2に対して、Duration dとZoneId zが存在し、次のようになります。 ${\displaystyle X,D}$${\displaystyle Z}$

t2 = t1.plus(d).withZoneSomeInstant(z)

上記の式は、群論から借用した右作用記法を使用して、次のようにより簡潔に記述できます。

${\displaystyle t2=t1.d.z}$

また、期間とタイムゾーンは、日付/時刻の変換として見ると、それぞれ群と右ゼロ半群の公理に従うことに加えて、互いに交換可能であることも確認できます。つまり、任意の日付/時刻 t、任意の期間 d、任意のタイムゾーン z について、次のようになります。

${\displaystyle t.d.z=t.z.d}$

これは次のように言うのと同じです:

${\displaystyle d\cdot z=z\cdot d}$