リーマンの微分方程式

数学において、リーマン微分方程式は、ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、超幾何微分方程式の一般化であり、正規特異点が0、1、だけでなく、リーマン球面 上のどこにでも発生することを許容する。この方程式はパペリッツ方程式としても知られている。^[1]${\displaystyle \infty}$

超幾何微分方程式は、0、1、の 3 つの正則特異点を持つ 2 階線形微分方程式です。この方程式は 2 つの線形独立な解を持ちます。特異点 の近くでは、解は の形を取ります。ここで は局所変数であり、 と局所的に正則です。実数はにおける解の指数と呼ばれます。α 、β、γ をそれぞれ0、1、における 1 つの解の指数とし、α ′、β ′、γ ′をもう 1 つの解の指数とします。すると ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle x^{s}f(x)}$${\displaystyle x=z-z_{s}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z_{s}}$${\displaystyle \infty}$

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

適切な変数変更を適用することで、超幾何方程式を変換することができます。メビウス変換を適用すると、正規特異点の位置が調整されますが、他の変換 (以下を参照) では、指数の合計が 1 になるように、正規特異点の指数を変更できます。

微分方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1- \beta -\beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}}$

${\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za}}+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb}}+{ \frac {\gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.}$

正規特異点はa、b、cである。これらの正規特異点における解の指数はそれぞれα ;  α ′、β ;  β ′、γ ;  γ ′である。前と同様に、指数は次の条件に従う。

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

解はリーマンP記号（パペリッツ記号とも呼ばれる） で表される。

${\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

標準的な超幾何関数は次のように表される。

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}}$

P関数はいくつかの恒等式に従う。そのうちの一つは、一般的なP関数を超幾何関数で表現することを可能にする。それは

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}$

言い換えれば、解は超幾何関数で次のように表すことができる。

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)}$

この方法で、クンマーの 24 の解の完全な補完を得ることができます。クンマーの解の取り扱いについては、 超幾何微分方程式の記事を参照してください。

P関数は、メビウス変換（リーマン球面の共形写像）と呼ばれる分数線形変換の作用下で、または同等に、群GL（2、  C）の作用下で、単純な対称性を持ちます。任意の複素数A、B、C、Dが与えられ、 AD − BC ≠0である場合、量を定義します 。

${\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}$

そして

${\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}}$

すると、単純な関係が成立する。

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

対称性を表現します。

上記のメビウス変換は特異点を移動させるが指数は変化させないが、次の変換は特異点を移動させず指数を変化させる： ^{[2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{k}\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -k-l&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-k-l&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}}$

• フロベニウス法
• モノドロミー

• ミルトン・アブラモウィッツ、アイリーン・A・ステガン編『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 （ドーバー：ニューヨーク、1972年）
  • 第15章 超幾何関数
    • セクション 15.6 リーマンの微分方程式