レスポンシブセット拡張

効用理論において、応答セット( RS )拡張は、個々のアイテムの選好関係をアイテムバンドルの部分選好関係に 拡張したものです。

4 つの項目があるとします: . ある人が、次の合計順序に従って項目をランク付けすると述べます: ${\displaystyle w,x,y,z}$

${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

(つまり、z が彼にとって最良の商品であり、次に y、x、w の順です)。これらの商品が独立した商品であると仮定すると、次のことが推測できます。

${\displaystyle \{w,x\}\prec \{y,z\}}$– その人は、最も良い 2 つのアイテムを最も悪い 2 つのアイテムよりも好む。

${\displaystyle \{w,y\}\prec \{x,z\}}$– その人は、2番目や4番目に良いものよりも、最も良いものや3番目に良いものを好みます。

しかし、バンドルについては何も推測できません。その人がどのバンドルを好むのかはわかりません。 ${\displaystyle \{w,z\},\{x,y\}}$

ランキングの RS 拡張は、アイテムのバンドル上の半順序であり、アイテムのランキングと独立性の仮定から推測できるすべての関係が含まれます。 ${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

をオブジェクトの集合とし、上の全順序をとします。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle O}$

のRS拡張は上の半順序である。これはいくつかの同等な方法で定義できる。^[1]${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle 2^{O}}$

オリジナルのRS拡張^{[2] :44–48}は次のように構築されます。すべてのバンドル、すべてのアイテム、すべてのアイテムに対して、次の関係を取ります。 ${\displaystyle X\subseteq O}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\notin X}$

• ${\displaystyle X\setminus \{x\}\prec ^{RS}X}$(- アイテムを追加するとバンドルが改善されます)
• その場合(- アイテムをより良いアイテムに置き換えると、バンドルが改善されます)。${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle X\preceq ^{RS}(X\setminus \{x\})\cup \{y\}}$

RS 拡張はこれらの関係の推移閉包です。

PD 拡張は、1 つのバンドル内のアイテムと他のバンドル内のアイテムの ペアリングに基づいています。

正式には 、からへの単射関数が存在して、各 に対して となる場合のみです。${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\preceq f(x)}$

SD 拡張 (確率的優位性にちなんで名付けられている) は、離散バンドルだけでなく、分数バンドル (アイテムの一部を含むバンドル) でも定義されます。非公式には、バンドル Y がバンドル X よりも SD 優先となるのは、各アイテム z に対して、バンドル Y にバンドル X と少なくとも同じ数のオブジェクト (少なくとも z と同じくらい優れている) が含まれる場合です。

正式には、すべての項目に対して、次の場合と同値です。 ${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{x\succeq z}X[x]\leq \sum _{y\succeq z}Y[y]}$

ここで、 はバンドル内のアイテムの割合です。 ${\displaystyle X[x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

バンドルが離散的である場合、定義はより単純な形式になります。ただし、すべての項目に対して次のようになります。 ${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle |\{x\in X|x\succeq z\}|\leq |\{y\in Y|y\succeq z\}|}$

AU 拡張は、加法的な効用関数の概念に基づいています。

多くの異なるユーティリティ関数は、特定の順序と互換性があります。たとえば、順序は次のユーティリティ関数と互換性があります。 ${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

${\displaystyle u_{1}(w)=0,u_{1}(x)=2,u_{1}(y)=4,u_{1}(z)=7}$

${\displaystyle u_{2}(w)=0,u_{2}(x)=2,u_{2}(y)=4,u_{2}(z)=5}$

アイテムが独立していると仮定すると、バンドル上の効用関数は加算的であるため、バンドルの効用は、そのアイテムの効用の合計になります。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle u_{1}(\{w,x\})=2,u_{1}(\{w,z\})=7,u_{1}(\{x,y\})=6}$

${\displaystyle u_{2}(\{w,x\})=2,u_{2}(\{w,z\})=5,u_{2}(\{x,y\})=6}$

このバンドルは、両方の効用関数によると、効用が低くなります。さらに、上記のランキングと互換性のある すべての効用関数について、次のようになります。${\displaystyle \{w,x\}}$${\displaystyle \{w.z\}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(\{w,x\})<u(\{w,z\})}$。

対照的に、バンドルの効用はの効用よりも小さくなることも大きくなることもあります。 ${\displaystyle \{w,z\}}$${\displaystyle \{x,y\}}$

これにより、次の定義が生まれます。

${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$かつ、以下と互換性のあるすべての加法効用関数に対して、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \preceq }$

${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$

• ${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$を意味する。^[1]${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$
• ${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$と同等である。^[1]${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$
• ${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$は を意味する。証明： ならば、という単射が存在し、すべての に対して となる。したがって、 と両立するすべての効用関数に対して となる。したがって、が加法的な場合、 となる。^[1]${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\preceq f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle u(x)\leq u(f(x))}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$
• と は同値であることが知られている。例えば^{[3]を参照。}${\displaystyle \preceq ^{AU}}$${\displaystyle \preceq ^{SD}}$

したがって、4 つの拡張機能、および、およびはすべて同等です。 ${\displaystyle \preceq ^{RS}}$${\displaystyle \preceq ^{PD}}$${\displaystyle \preceq ^{SD}}$${\displaystyle \preceq ^{AU}}$

バンドル上の全順序は、それがアイテム上の全順序のレスポンシブセット拡張を含む場合、レスポンシブと呼ばれます^{[4] : 287–288}。つまり、それはアイテムの基礎となる順序によって暗示されるすべての関係を含み、さらに暗示も矛盾もされないいくつかの関係を追加します。

同様に、バンドル上の効用関数は、応答的な順序を誘導する場合、応答的であると呼ばれます。より明確に言うと、^{[5] では、すべてのバンドル}XとXに含まれないすべての 2 つの項目y、zに対して、 次の条件が満たされる場合、効用関数uは応答的であるといいます。${\displaystyle u(y)\geq u(z)\implies u(X\cup \{y\})\geq u(X\cup \{z\})}$

応答性は加法性によって暗示されますが、その逆は当てはまりません。

• 全順序が加法的である場合（加法的関数で表される）、定義により AU 拡張 が含まれます。これは と同等であるため、応答性があります。同様に、効用関数が加法的である場合は であるため、応答性が満たされます。${\displaystyle \preceq ^{AU}}$${\displaystyle \preceq ^{RS}}$${\displaystyle u(X\cup \{y\})-u(X\cup \{z\})=u(y)-u(z)}$
• 一方、全順序は応答的であっても加法的ではない場合があります。つまり、全順序にはすべての加法的関数と一致する AU 拡張が含まれる可能性がありますが、単一の加法的関数と矛盾する他の関係も含まれる可能性があります。

例えば、^{[6] の}4 つのアイテムがあるとします。応答性は、 のアイテムを 1 つ置き換えた同じサイズのバンドル間、または小さいバンドルが大きいバンドルに含まれている異なるサイズのバンドル間の関係のみを制約します。互いのサブセットではない異なるサイズのバンドルについては何も述べていません。したがって、たとえば、応答性の高い順序はと の両方を持つことができます。しかし、これは加法性と両立しません。 である一方で となる加法関数は存在しません。 ${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$${\displaystyle \{z\}\prec \{x,y\}}$${\displaystyle \{w,z\}\succ \{w,x,y\}}$${\displaystyle u(\{z\})<u(\{x,y\})}$${\displaystyle u(\{w,z\})>u(\{w,x,y\})}$

• 弱加法的
• ピッキングシーケンス