準三角形の準ホップ代数

準三角準ホップ代数は、1989 年にウクライナの数学者ウラジミール・ドリンフェルトによって定義された準ホップ代数の特殊な形式です。また、準三角ホップ代数の一般化された形式でもあります。

準三角準ホップ代数は、準ホップ代数であり、 R行列として知られる集合であり、次のような可逆な要素である。 ${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}=({\mathcal {A}},R,\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$${\displaystyle R\in {\mathcal {A\otimes A}}}$

${\displaystyle R\Delta (a)=\sigma \circ \Delta (a)R}$

すべての に対して、スイッチマップは で与えられ、 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma \colon {\mathcal {A\otimes A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}}$${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$

${\displaystyle (\Delta \otimes \operatorname {id} )R=\Phi _{231}R_{13}\Phi _{132}^{-1}R_{23}\Phi _{123}}$

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )R=\Phi _{312}^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}\Phi _{123}^{-1}}$

ここで、および。 ${\displaystyle \Phi _{abc}=x_{a}\otimes x_{b}\otimes x_{c}}$${\displaystyle \Phi _{123}=\Phi =x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}\in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}}$

さらに、 の場合、準ホップ代数は三角形になります。 ${\displaystyle R_{21}R_{12}=1}$

によるのねじれは、準ホップ代数の場合と同じであるが、ねじれたR行列 の定義が追加される。${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}}$${\displaystyle F\in {\mathcal {A\otimes A}}}$

準三角形 (または三角形) の準ホップ代数は、定義の最後の 2 つの条件によってホップ代数の準三角形性の条件が緩和されるため、 準三角形 (または三角形) のホップ代数です。${\displaystyle \Phi =1}$

準ホップ代数のねじれ特性と同様に、準三角形または三角形準ホップ代数であるという特性はねじれによって保存されます。

• リボンホップ代数

• ウラジミール・ドリンフェルト、「準ホップ代数」、レニングラード数学ジャーナル（1989）、1419–1457
• JM Maillet および J. Sanchez de Santos、「Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz」、アメリカ数学会翻訳シリーズ 2巻201、2000年