準凸性（変分法）

数学の分野である変分法において、準凸性は凸性の概念の一般化である。これは関数の積分関数を特徴付けるために使用され、最小化関数の存在と関連している。ある自然な条件下では、積分関数の準凸性は、十分な 正則領域に対して、関数が弱位相で下半連続に なるための必要十分条件である。コンパクト性の議論（バナッハ–アラオグルの定理）により、弱下半連続関数の最小化関数の存在は直接法から導かれる可能性がある。^[1] この概念は1952年にモーリーによって導入された。^[2]この一般化は、同じ名前を持つ 準凸関数の同じ概念と混同してはならない。$${\displaystyle {\mathcal {F}}:W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow \mathbb {R} \qquad u\mapsto \int _{\Omega }f(x,u(x),\nabla u(x))dx}$$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

局所的に有界なボレル可測関数は、すべて の に対してとなるとき、準凸関数と呼ばれます 。ここで、B (0,1)は単位球であり、 は本質的に有界な導関数と消失トレースを持つ本質的に有界な関数のソボレフ空間です。^[3]${\textstyle f:\mathbb {R} ^{m\times d}\rightarrow \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{B(0,1)}{\bigl (}f(A+\nabla \psi (x))-f(A){\bigr )}dx\geq 0}$$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$${\displaystyle \psi \in W_{0}^{1,\infty }(B(0,1),\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle W_{0}^{1,\infty }}$

• 領域B (0,1)は他の任意の有界リプシッツ領域に置き換えることができる。^[4]

• 準凸関数は局所的にリプシッツ連続である。^[5]

• 定義では、空間は周期的なソボレフ関数に置き換えることができる。^[6]${\displaystyle W_{0}^{1,\infty }}$

準凸性は、行列上で定義された関数の凸性の一般化です。これを確認するには、 と を とします 。リース ・マルコフ・角谷表現定理は、 の双対空間は、その上の 符号付き有限ラドン測度の空間と同一視できると述べています。 に対して、によって ラドン測度を定義します。は確率測度であり、その重心は であること が確認できます。hが凸関数の 場合、ジェンセンの不等式により が得られ ます。これは、一般化されたストークスの定理により、 特にV ( x ) がの導関数である場合に成り立ちます。 ^[7]${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$${\displaystyle V\in L^{1}(B(0,1),\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \int _{B(0,1)}V(x)dx=0}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{m\times d})}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \langle h,\mu \rangle ={\frac {1}{|B(0,1)|}}\int _{B(0,1)}h(A+V(x))dx}$$${\displaystyle h\in C_{0}(\mathbb {R} ^{m\times d})}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle [\mu ]=\langle \operatorname {id} ,\mu \rangle =A+\int _{B(0,1)}V(x)dx=A.}$$$${\displaystyle h(A)=h([\mu ])\leq \langle h,\mu \rangle ={\frac {1}{|B(0,1)|}}\int _{B(0,1)}h(A+V(x))dx.}$$${\displaystyle \psi \in W_{0}^{1,\infty }(B(0,1),\mathbb {R} ^{m\times d})}$

行列式は準凸関数の一例であり、凸関数ではない。^[8]行列式が凸関数でないことを確認するには、 次式を考慮する。このとき、は成り立つが、については となる 。これは、行列式がゲーム理論のような準凸関数ではなく、したがって凸性という明確な概念で はないことを示している。${\displaystyle \det \mathbb {R} ^{d\times d}\rightarrow \mathbb {R} }$$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad B={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle \det A=\det B=0}$${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$${\displaystyle \det(\lambda A+(1-\lambda )B)=\lambda (1-\lambda )>0=\max(\det A,\det B)}$

変分法のベクトルの場合、凸性に関する他の概念が存在する。関数の場合、次のようになる^[9]。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m\times d}\rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f{\text{ convex}}\Rightarrow f{\text{ polyconvex}}\Rightarrow f{\text{ quasiconvex}}\Rightarrow f{\text{ rank-1-convex}}.}$$

これらの概念は、またはの場合にすべて同等です。1952 年にすでに Morrey は、ランク 1 凸性は準凸性を意味しないと予想していました。^[10]これは変分法における主要な未解決問題でしたが、1993 年に Šverák がおよび の場合の反例を示しました。^[11]または の 場合は、Morrey の予想として知られ、未解決の問題です。^[12]${\displaystyle d=1}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle m\geq 3}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle m=2}$

被積分関数の特定の成長条件下では、適切なソボレフ空間における積分関数の連続弱下半連続性 (swlsc) は、被積分関数の準凸性と同等です。Acerbi と Fusco は次の定理を証明しました。

定理:がカラテオドリ関数であり、が成り立つ場合、関数は ソボレフ空間で swlsc であり 、 が準凸である場合に限ります。ここでは正の定数と積分可能な関数です。^[13]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} ,(x,v,A)\mapsto f(x,v,A)}$${\displaystyle 0\leq f(x,v,A)\leq a(x)+C(|v|^{p}+|A|^{p})}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}[u]=\int _{\Omega }f(x,u(x),\nabla u(x))dx}$$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle a(x)}$

他の著者は異なる成長条件と異なる証明条件を使用しています。^{[14] [15]}最初の証明はMorreyの論文によるものでしたが、追加の仮定が必要でした。^[16]