Qベクトル

Q ベクトルは、大気力学において、鉛直運動や前線形成などの物理的プロセスを理解するために使用されます。Q ベクトルは、大気中で測定できる物理量ではありませんが、準地衡方程式から導出され、以前の診断状況で使用できます。気象図では、Q ベクトルは上向きの動きに向かい、下向きの動きとは反対の方向を示します。Q ベクトルは、準地衡方程式における鉛直運動を診断するための オメガ方程式の代替手段です。

1978年に初めて導出された^[1]。中緯度β面準地衡予測方程式を使用して、中緯度におけるQベクトル導出を簡略化することができる。^[2]

1. ${\displaystyle {\frac {D_{g}u_{g}}{Dt}}-f_{0}v_{a}-\beta yv_{g}=0}$（準地衡運動量方程式のx成分）
2. ${\displaystyle {\frac {D_{g}v_{g}}{Dt}}+f_{0}u_{a}+\beta yu_{g}=0}$（準地衡運動量方程式のy成分）
3. ${\displaystyle {\frac {D_{g}T}{Dt}}-{\frac {\sigma p}{R}}\omega ={\frac {J}{c_{p}}}}$（準地衡熱力学方程式）

熱風方程式は次のようになります。

${\displaystyle f_{0}{\frac {\partial u_{g}}{\partial p}}={\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial y}}}$（熱風方程式のx成分）

${\displaystyle f_{0}{\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}=-{\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial x}}}$（熱風方程式のy成分）

ここで、はコリオリのパラメータで、定数 1e ⁻⁴ s ⁻¹で近似されます。は大気の理想気体定数です。はコリオリのパラメータの緯度による変化です。は静的安定パラメータです。 は定圧比熱です。 は圧力です。 は温度です。下付き文字の付いたものはすべて地衡風を表します。は非断熱加熱率です。 は時間による圧力の変化率です。大気中では圧力が高度とともに減少するため、 の負の値はと同様に上向きの垂直運動であることに注意してください。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega ={\frac {Dp}{Dt}}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle +w={\frac {Dz}{Dt}}}$

これらの方程式から、Q ベクトルの表現が得られます。

${\displaystyle Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]}$

ベクトル形式では：

${\displaystyle Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial x}}\cdot {\vec {\nabla }}T}$

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial y}}\cdot {\vec { \nabla }}T}$

これらの Q ベクトル方程式を準地衡オメガ方程式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle \left(\sigma {\overrightarrow {\nabla ^{2}}}+f_{\circ }^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial p^{2}}}\right)\omega =-2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}+f_{\circ }\beta {\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}-{\frac {\kappa }{p}}{\overrightarrow {\nabla ^{2}}}J}$

正弦関数の場合と同様に、2 次導関数が負の符号で近似される場合、断熱設定における上記は上向きの動きに関する記述として見ることができます。

${\displaystyle -\omega \propto -2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}}$

準地衡オメガ方程式の左辺をフーリエ級数で展開すると、上記の式が得られ、準地衡オメガ方程式の右辺との関係を想定できること が示唆されます。${\displaystyle -\omega }$${\displaystyle -\omega }$

この式は、Qベクトル（）の発散が下向きの動きと関連していることを示しています。したがって、収束力は上昇し、発散力は下降します。^[3] Qベクトルとすべての非衡流は、熱風のバランスを保つために存在します。したがって、低レベルのQベクトルは、低レベルの非衡風の方向を指す傾向があります。^[4]${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}}$${\displaystyle {\vec {Q}}}$${\displaystyle {\vec {Q}}}$

Qベクトルは、ジオポテンシャル高度（）と定圧面上の温度で完全に決定できます。Qベクトルは常に上昇気流の方向を指します。北半球の理想的なサイクロンおよび高サイクロン（ ）の場合、サイクロンのQベクトルは熱風と平行を指し、高サイクロンのQベクトルは熱風と反平行を指します。^[5]これは、暖かい空気の移流領域では上向きの動き、冷たい空気の移流領域では下向きの動きを意味します。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial y}}<0}$

前線形成においては、温度勾配が強くなる必要がある。このような状況では、Qベクトルは上昇気流と強くなる温度勾配の方向を指す。^[6] Qベクトルが収束する領域では低気圧性の渦度が形成され、発散する領域では高気圧性の渦度が形成される。^[1]