ポントリャーギンの最大原理

ポンチャギンの最大原理は、最適制御理論において、特に状態または入力制御に制約がある場合に、動的システムをある状態から別の状態に移行させるための最善の制御を見つけるために使用されます。これは、最適状態軌道に沿った任意の最適制御には、いわゆるハミルトン系（2点境界値問題）と制御ハミルトンの最大条件を解くことが必要であると述べています。^[a]これらの必要条件は、目的関数と制約関数の特定の凸条件の下で十分になります。 ^{[1] [2]}

最大原理は1956年にロシアの数学者レフ・ポンチャギンとその弟子たちによって定式化され、^{[3] [4]}、その最初の応用はロケットの終端速度の最大化であった。^{[5]この結果は、古典的な}変分法のアイデアを使って導き出された。^[6]最適制御をわずかに摂動させた後、摂動に関するテイラー展開の1次項を考慮する。摂動をゼロにすると変分不等式が得られ、そこから最大原理が導かれる。^[7]

最大原理は最適制御理論における画期的な成果として広く認められており、その意義はハミルトニアンの最大化が元の無限次元制御問題よりもはるかに容易であるという事実にある。関数空間上で最大化するのではなく、問題が点ごとの最適化に変換される。^[8]同様の論理から、最適軌道が中間時点でも最適のままであるという最適制御問題への関連アプローチであるベルマンの最適性原理が生まれる。 ^[9]結果として得られるハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式は最適値を得るための必要十分条件を提供し、確率的最適制御問題への直接的な拡張を可能にするが、最大原理ではそれができない。^[7] しかし、有効となるには状態空間全体で成り立つ必要があるハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式とは対照的に、ポンチャギンの最大原理は、それが指定する条件が特定の軌道上でのみ成り立つ必要があるという点で、潜在的に計算効率が高い。

セットと関数 の場合${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n}}$、

次の表記法を使用します。

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}$、

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$。

ここでは関数の最小化に必要な条件を示します。

状態変数、制御変数を持つn 次元の動的システムを考えます。ここで、 は許容される制御のセットです。システムの進化は、微分方程式 に従って、状態と制御によって決定されます。システムの初期状態を とし、システムの進化が値 で期間にわたって制御されるとします。後者は次の微分方程式によって決定されます。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

制御軌道は目的に応じて選択される。目的は、次のように定義される 関数である。${\displaystyle u:[0,T]\to {\mathcal {U}}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L{\big (}x(t),u(t){\big )}\,dt}$、

ここで、 は状態 で制御を及ぼすためのコスト率として解釈でき、 は状態 に到達するためのコストとして解釈できます。 の具体的な選択はアプリケーションによって異なります。 ${\displaystyle L(x,u)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Psi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L,\Psi }$

システムダイナミクスの制約は、時間変動ラグランジュ乗数ベクトル を導入することでラグランジアン に加えることができます。このベクトルの要素はシステムのコステートと呼ばれます。これにより、すべてに対して次のように定義されるハミルトニアンが構築されます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle H{\big (}x(t),u(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f{\big (}x(t),u(t){\big )}+L{\big (}x(t),u(t){\big )}}$

ここで はの転置です。 ${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$${\displaystyle \lambda }$

ポンチャギンの最小原理は、最適状態軌道、最適制御、および対応するラグランジュ乗数ベクトルがハミルトニアンを最小化する必要があること を述べています。${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle u^{*}}$${\displaystyle \lambda ^{*}}$${\displaystyle H}$

すべての時間とすべての許容される制御入力に対して。ここで、ラグランジュ乗数ベクトルの軌跡は、共状態方程式とその終端条件 の解です。${\displaystyle t\in [0,T]}$${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \lambda }$

が固定されている場合、(1)-(3)の3つの条件は最適制御に必要な条件です。 ${\displaystyle x(T)}$

最終状態が固定されていない場合（つまり、その差分変化がゼロでない場合）、追加の条件が存在する。 ${\displaystyle x(T)}$

(1)～(4)の4つの条件は最適制御に必要な条件である。

• バナッハ空間上のラグランジュ乗数、変分法におけるラグランジュ法

• Geering, HP (2007)。最適制御とエンジニアリングアプリケーション。Springer。ISBN 978-3-540-69437-3。
• カーク、DE (1970)。最適制御理論入門。プレンティスホール。ISBN 0-486-43484-2。
• Lee, EB; Markus, L. (1967).最適制御理論の基礎. ニューヨーク: Wiley.
• Seierstad, Atle; Sydsæter, Knut (1987)。最適制御理論と経済的応用。アムステルダム:北ホラント。ISBN 0-444-87923-4。

• 「ポンチャギン最大原理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]