多凸関数

変分法において、多凸性の概念は、行列の空間上で定義された関数に対する凸性の概念の一般化である。多凸性の概念は、非線形弾性理論におけるエネルギー最小化の存在を証明するための十分条件として、ジョン・M・ボールによって導入された。^{[1]これは、}ムーニー・リブリンやオグデン材料などの超弾性蓄積エネルギー密度の大きなクラスによって満たされる。多凸性の概念は、次の図を通じて凸性、準凸性、およびランク 1 凸性の概念に関連付けられている。^[2]

${\displaystyle f{\text{ 凸}}\implies f{\text{ 多凸}}\implies f{\text{ 準凸}}\implies f{\text{ ランク 1 凸}}}$

を有界開領域とし、をからへの写像のソボレフ空間とする。変分法における典型的な問題は、次の形式の 関数を最小化することである。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E[u]=\int _{\Omega }f(x,\nabla u(x))dx}$、

ここで、エネルギー密度関数は、-増加、すなわち、あるおよびに対して を満たします。Morrey と Acerbi-Fusco の定理から、が 上で弱下半連続になるための必要十分条件は、ほぼすべてのに対して が準凸であることであることはよく知られています。に対する保磁力仮定とに対する境界条件により、これは上での最小化関数の存在につながります。^[3]しかし、多くの用途では、エネルギー密度に対する -増加の仮定はしばしば制限が厳しすぎます。弾性の文脈では、これは、体積の局所的測定値がゼロに近づくにつれて、エネルギーが まで無制限に増加する必要があるためです。このことから、Ball は、非線形弾性におけるエネルギー最小化関数の存在を証明するために、より制限的な概念である多凸性を定義しました。 ${\displaystyle f:\Omega \times \mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow [0,\infty )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |f(x,A)|\leq M(1+|A|^{p})}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle p\in (1,\infty )}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle f(x,\cdot )}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle +\infty}$

関数が多凸関数であるとは^[4]、次のような 凸関数が存在する場合を言う。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{\tau (m,n)}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(F)=\Phi (T(F))}$

どこでそのような ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow \mathbb {R} ^{\tau (m,n)}}$

${\displaystyle T(F):=(F,{\text{adj}}_{2}(F),...,{\text{adj}}_{m\wedge n}(F)).}$

ここで、は 行列 のすべての小行列式を表し、${\displaystyle {\text{adj}}_{s}}$${\displaystyle s\times s}$ ${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle 2\leq s\leq m\wedge n:=\min(m,n)}$

${\displaystyle \tau (m,n):=\sum _{s=1}^{m\wedge n}\sigma (s),}$

どこ。 ${\displaystyle \sigma (s):={\binom {m}{s}}{\binom {n}{s}}}$

のとき、および のとき、であり、ここで はの補因子行列を表します。 ${\displaystyle m=n=2}$${\displaystyle T(F)=(F,\det F)}$${\displaystyle m=n=3}$${\displaystyle T(F)=(F,{\text{cof}}\,F,\det F)}$${\displaystyle {\text{cof}}\,F}$${\displaystyle F}$

上記の定義では、 の範囲を まで拡張することもできます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

• が有限値のみを取る場合、多凸性は準凸性を意味し、したがってソボレフ空間上の対応する積分関数の弱い下半連続性につながります。${\displaystyle f}$

• またはの場合、多凸性は凸性に縮小されます。${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$

• が多凸である場合、局所的に Lipschitzです。${\displaystyle f}$

• 二次関数以下の成長を伴う多凸関数は凸関数でなければならない。つまり、${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle 0\leq p<2}$

${\displaystyle f(F)\leq \alpha (1+|F|^{p})}$任意の に対して、 は凸です。${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle f}$

• すべての凸関数は多凸関数です。
• の場合、行列式関数は多凸ですが、凸ではありません。特に、非線形弾性でよく現れる次のタイプの関数は、多凸ですが凸ではありません。${\displaystyle m=n}$

${\displaystyle f(A)={\begin{cases}{\frac {1}{\det(A)}},&\det(A)>0;\\+\infty ,&\det(A)\leq 0;\end{cases}}}$