パッシェンの法則

パッシェンの法則は、ガス中の2つの電極間の破壊電圧、つまり放電または電気アークを開始するために必要な電圧を圧力とギャップ長の関数として与える方程式です。 ^{[2] [3]}この法則は、 1889年に経験的に発見したフリードリヒ・パッシェン にちなんで名付けられました。^[4]

パッシェンは、ガス圧とギャップ距離を変え ながら、平行な金属板間のさまざまなガスの破壊電圧を研究しました。

• ギャップの長さが一定の場合、ギャップを横切るアークに必要な電圧は圧力が減少するにつれて減少し、その後徐々に増加して元の値を超えました。
• 圧力が一定であれば、ギャップのサイズが小さくなるにつれてアークを発生させるために必要な電圧は減少しますが、それはある程度までです。ギャップがさらに小さくなると、アークを発生させるために必要な電圧は上昇し始め、再び元の値を超えました。

与えられたガスに対して、電圧は圧力とギャップ長の積のみの関数です。^{[2] [3]}彼が発見した電圧と圧力ギャップ長の積の曲線（右）はパッシェンの曲線と呼ばれています。彼はこれらの曲線に適合する方程式を発見し、それは現在パッシェンの法則と呼ばれています。^[3]

より高い圧力とギャップ長では、破壊電圧は圧力とギャップ長の積にほぼ比例し、このより単純な関係を指すためにパッシェンの法則という用語が使用されることがあります。^[5] ただし、これは曲線の限られた範囲でのみ大まかに当てはまります。

初期の真空実験では、かなり意外な現象が発見されました。アークは、電極間の最小距離ではなく、長く不規則な経路で発生することがありました。たとえば、空気中では、圧力が 1気圧の場合、最小の破壊電圧となる距離は約 7.5 μm です。この距離でアークを発生させるために必要な電圧は 327 V ですが、これより広いギャップや狭いギャップではアークを発生させるのに不十分です。3.5 μm のギャップの場合、必要な電圧は 533 V で、ほぼ 2 倍になります。500 V を印加すると、2.85 μm の距離でアークを発生させるには不十分ですが、7.5 μm の距離ではアークが発生します。

パッシェンは破壊電圧が次の式で表されることを発見した^[1]

${\displaystyle V_{\text{B}}={\frac {Bpd}{\ln(Apd)-\ln \left[\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma _{\text{se}}}}\right)\right]}}}$

ここで、は破壊電圧（ボルト）、は圧力（パスカル）、はギャップ距離（メートル）、は二次電子放出係数（入射する正イオンごとに生成される二次電子の数）、は特定の（電界/圧力）におけるガスの飽和イオン化、は励起エネルギーとイオン化エネルギーに関連しています。 ${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \gamma _{\text{se}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle B}$

定数およびは、第 1タウンゼント係数を補間する。これらは実験的に決定され、与えられた気体に対して限られた範囲の でほぼ一定であることがわかっている。例えば、が450～7500 V/(kPa·cm) の範囲にある空気では、  = 112.50 (kPa·cm) ⁻¹および= 2737.50 V/(kPa·cm) となる。^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha =Ape^{-Bp/E}}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

この式のグラフはパッシェン曲線です。これを微分し、導関数をゼロにすると、最小電圧が見つかります。これは次の式になります。 ${\displaystyle pd}$

${\displaystyle pd={\frac {e\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{{\mathit {\gamma }}_{se}}}\right)}{A}}}$

 そして、 = 7.5×10 ⁻⁶ m·atmで最小破壊電圧が発生すると予測しています。これは、距離 7.5 μm で標準大気圧の 空気 中で 327 V に相当します。${\displaystyle pd}$

ガスの組成によって、最小アーク電圧とそれが発生する距離が決まります。アルゴンの場合、最小アーク電圧は 12 μm で 137 V です。二酸化硫黄の場合、最小アーク電圧はわずか 4.4 μm で 457 V です。

標準温度・圧力（STP）の空気の場合、1メートルのギャップにアークを発生させるのに必要な電圧は約3.4MVです。^[7]したがって、このギャップの 電界強度は3.4MV/mです。

最小電圧ギャップを横切るアークに必要な電界は、1メートルのギャップを横切るアークに必要な電界よりもはるかに大きい。大きなギャップ（または大きなpd）では、パッシェンの法則は成り立たないことが知られている。ブレークダウンのミーク基準は、通常、大きなギャップに用いられる。 ^[8] これは、長距離にわたって発生する可能性があるギャップ内の電荷の蓄積による電界の不均一性とストリーマの形成を考慮に入れている。7.5μmのギャップの場合、アーク電圧は327V、つまり43MV/mである。これは、1.5メートルのギャップの電界強度の約14倍である。この現象は実験的に十分に検証されており、パッシェン最小値と呼ばれている。

この式は、1気圧の空気中において約10μm以下のギャップでは精度が失われ^[9] 、約2.7μmのギャップで無限のアーク電圧を誤って予測します。また、陰極表面からの 電界放出が重要になる 非常に小さな電極ギャップでは、破壊電圧がパッシェン曲線の予測と異なることもあります。

ガス中の分子の平均自由行程とは、分子が他の分子と衝突する平均距離のことです。これは、一定の温度であれば、ガスの圧力に反比例します。標準温度の空気中における分子の平均自由行程は約 96 nm です。電子ははるかに小さいため、分子と衝突する平均距離は約 5.6 倍、つまり約 0.5 μm になります。これは、最小アーク電圧を得るための電極間の間隔 7.5 μm のかなりの部分です。電子が 43 MV/m の電界内にある場合、加速され、 電界の方向に 0.5 μm 移動する際に21.5 eVのエネルギーを獲得します。窒素分子から電子を取り除くために必要な最初のイオン化エネルギーは約 15.6 eV です。加速された電子は、窒素分子をイオン化するのに十分なエネルギーを獲得します。この解放された電子は次に加速され、別の衝突を引き起こします。その後、連鎖反応によりアバランシェブレークダウンが起こり、放出された電子のカスケードからアークが発生します。^[10]

高圧ガスでは、電極間の電子経路で衝突が多く発生します。圧力ギャップ積が高い場合、電子は陰極から陽極へ移動する際に、さまざまなガス分子と衝突します。衝突のたびに電子の方向がランダム化されるため、電子は常に電界によって加速されるわけではなく、陰極に向かって戻り、電界によって減速されることもあります。 ${\displaystyle pd}$

衝突により電子のエネルギーが減少し、分子をイオン化することがより困難になります。衝突回数が増えるとエネルギーが失われるため、電子が十分なエネルギーを蓄積して多くのガス分子をイオン化し、雪崩降伏を起こすために必要となる電圧が大きくなります。

パッシェン極小点の左側では、積は小さくなります。電子の平均自由行程は、電極間のギャップに比べて長くなる可能性があります。この場合、電子は大量のエネルギーを獲得する可能性がありますが、イオン化衝突は少なくなります。したがって、雪崩を開始するのに十分なガス分子のイオン化を確実にするために、より高い電圧が必要になります。 ${\displaystyle pd}$

ブレークスルー電圧を計算するには、均一な電界を仮定します。これは、平行板コンデンサの設定の場合に当てはまります。電極間の距離は です。カソードは点 にあります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle x=0}$

衝突イオン化を得るには、電子エネルギーがプレート間のガス原子のイオン化エネルギーよりも大きくならなければならない。経路の長さごとに、イオン化の回数が発生する。はタウンゼントによって導入されたため、第1タウンゼント係数として知られている。 ^[11] 電子電流の増加は、想定される設定では次のように記述できる。 ${\displaystyle E_{e}}$${\displaystyle E_{\text{I}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \Gamma_{e}}$

(したがって、陽極の自由電子の数は、衝突イオン化によって増加した陰極の自由電子の数に等しくなります。および/または が大きいほど、生成される自由電子の数が多くなります。) ${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha}$

生成された電子の数は

同じ原子が複数回イオン化する可能性を無視すると、生成されるイオンの数は生成される電子の数と同じになります。

${\displaystyle \Gamma_{i}}$はイオン電流です。放電を継続させるには、陰極表面に自由電子が生成される必要があります。これは、陰極に衝突したイオンが衝撃で二次電子を放出するため可能です。（非常に大きな電圧を印加すると、電界電子放出も発生します。）電界放出がない場合、次のように書くことができます。

ここで はイオン当たりに生成される二次電子の平均数である。これは第2タウンゼント係数とも呼ばれる。 と仮定すると、( 4 )を( 3 )に代入して変換することでタウンゼント係数の関係が得られる。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Gamma _{i}(d)=0}$

の量はいくらですか? イオン化の数は、電子がガス分子に衝突する確率によって決まります。この確率は、電子とイオンの衝突の断面積と、電子が通過できる 全体の面積との関係です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle A}$

式の 2 番目の部分で表現されているように、確率は電子が移動した経路と平均自由行程(別の衝突が発生する距離) の関係として表現することもできます。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle N}$電子が衝突できる分子の数です。理想気体の状態方程式を使って計算できます。

（: 圧力、: 体積、:ボルツマン定数、: 温度）${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$

添付のスケッチは を示しています。電子の半径はイオンの半径に比べて無視できるので、と簡略化されます。この関係式を使用して、( 7 ) を ( 6 ) に代入して に変換すると、 ${\displaystyle \sigma =\pi (r_{a}+r_{b})^{2}}$${\displaystyle r_{I}}$${\displaystyle \sigma =\pi r_{I}^{2}}$${\displaystyle \lambda}$

この要素は、概要をよりわかりやすくするためにのみ導入されました。 ${\displaystyle L}$

経路上の各点におけるまだ衝突していない電子の電流の変化は次のように表される。 ${\displaystyle x}$

この微分方程式は簡単に解くことができます。

（その時点でまだ衝突が起きていない） 確率は${\displaystyle \lambda >x}$${\displaystyle x}$

その定義によれば、経路の長さあたりのイオン化の数であり、したがってイオンの平均自由経路と電子の平均自由経路で衝突がなかった確率の関係は次のとおりです。 ${\displaystyle \alpha}$

これにより、荷電粒子が衝突の間に得ることができるエネルギーは、電界強度と電荷に依存すると考えられました。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle Q}$

平行板コンデンサーの場合、となる。ここで は印加電圧である。単一のイオン化が仮定されているので、は素電荷である。ここで、( 13 )と( 8 )を( 12 )に代入すると、 ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {U}{d}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle e}$

これを（５）に代入して変形すると、破壊電圧に関するパッシェンの法則が得られる。これはパッシェンが^[4]で初めて研究し 、タウンゼントが^[12] で初めて導出した式である 。${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{\mathrm {breakdown} }}$

と ${\textstyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{B}T}}}$

タウンゼントの定義におけるプラズマ点火（タウンゼント放電）は、外部の自由電子源に依存しない自己持続放電です。これは、陰極からの電子が遠くの陽極に到達し、その途中で少なくとも 1 つの原子をイオン化できることを意味します。したがって、この関係の定義に従って、次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha }$

（ ５ ）の代わりに使用した場合、破壊電圧は ${\displaystyle \alpha d=1}$

パッシェンの法則では次のことが求められます。

• 陰極（）にはすでに自由電子が存在し、これを加速することで衝撃イオン化を誘発することができます。このようないわゆるシード電子は、自然放射能や宇宙線によるイオン化によって生成されます。${\displaystyle \Gamma _{e}(x=0)\neq 0}$
• さらなる自由電子の生成は、衝撃イオン化によってのみ達成されます。したがって、外部電子源がある場合、パッシェンの法則は有効ではありません。これは、たとえば、光電効果によって二次電子を生成する光源である可能性があります。これは、実験で考慮する必要があります。
• イオン化された原子はそれぞれ 1 つの自由電子のみを生成します。ただし、実際には複数のイオン化が常に発生します。
• 衝突するイオンによって、陰極表面の自由電子が生成されます。問題は、これによって生成される電子の数が、陰極の材質、表面（粗さ、不純物）、環境条件（温度、湿度など）に大きく依存することです。したがって、実験的に再現性のある係数を決定することはほぼ不可能です。${\displaystyle \gamma }$
• 電界は均一です。

ガスの種類によって、分子と電子の平均自由行程は異なります。これは、分子の種類によってイオン化断面積、つまり有効直径が異なるためです。ヘリウムやアルゴンなどの希ガスは単原子であるため、イオン化しにくく、有効直径が小さくなる傾向があります。そのため、平均自由行程は大きくなります。

イオン化ポテンシャルは分子ごとに異なり、軌道から外れた後に電子を再び捕獲する速度も異なります。これら 3 つの効果はすべて、自由電子の指数関数的増加を引き起こすために必要な衝突の数を変えます。これらの自由電子はアークを発生させるために必要です。

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