パッシェンの法則

パッシェンの法則は、気体中の2つの電極間の絶縁破壊電圧（放電またはアーク放電を開始するために必要な電圧）を圧力とギャップ長の関数として表す方程式です。 ^[²^]^[³^]この法則は、1889年に経験的に発見したフリードリヒ・パッシェンにちなんで名付けられました。^[⁴^]

パッシェンは、ガス圧とギャップ距離を変化させた場合の、平行な金属板間の様々なガスの絶縁破壊電圧を研究した。

ギャップの長さが一定の場合、ギャップを横切ってアーク放電を起こすのに必要な電圧は、圧力が低下するにつれて減少し、その後徐々に増加して元の値を超えた。
一定の圧力下では、ギャップサイズを小さくするにつれてアーク放電に必要な電圧は低下したが、ある一定の値までしか低下しなかった。ギャップをさらに小さくすると、アーク放電に必要な電圧は上昇し始め、再び元の値を超えた。

特定の気体の場合、電圧は圧力とギャップ長の積のみの関数です。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}彼が見つけた電圧と圧力-ギャップ長の積の関係を示す曲線（右）は、パッシェンの曲線と呼ばれています。彼はこれらの曲線に合う方程式を見つけ、それは現在パッシェンの法則と呼ばれています。^{[ 3 ]}

高圧およびギャップ長の場合、破壊電圧は圧力とギャップ長の積にほぼ比例し、このより単純な関係を指すためにパッシェンの法則という用語が使用されることがあります。 ^{[ 5 ]} ただし、これは曲線の限られた範囲でのみおおよそ正しいです。

パッシェン曲線

初期の真空実験では、かなり驚くべき現象が発見された。アーク放電は、電極間の最小距離ではなく、長く不規則な経路で発生することがあった。例えば、空気中では、1気圧の場合、最小絶縁破壊電圧となる距離は約7.5μmである。この距離でアーク放電を起こすのに必要な電圧は327Vであり、これより広いギャップでも狭いギャップでもアーク放電を起こすには不十分である。3.5μmのギャップでは、必要な電圧は533Vで、ほぼ2倍である。500V を印加した場合、2.85μmの距離ではアーク放電を起こすには不十分であるが、7.5μmの距離ではアーク放電を起こす。

パッシェンは、破壊電圧が方程式^{[ 1 ]で表されることを発見した。}

V_{\text{B}}={\frac {Bpd}{\ln(Apd)-\ln \left[\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma _{\text{se}}}}\right)\right]}}

どこ $V_{\text{B}}$ 破壊電圧はボルト単位です。 $p$ 圧力はパスカル単位です。 $d$ ギャップ距離はメートル単位です。 $\gamma _{\text{se}}$ は二次電子放出係数（入射した正イオン1個あたりに生成される二次電子の数）であり、 $A$ 特定のガスにおける飽和電離度は $E/p$ （電場／圧力） $B$ 励起エネルギーとイオン化エネルギーに関係している。

定数 $A$ そして $B$ 最初のタウンゼント係数を補間する $\alpha =Ape^{-Bp/E}$ これらは実験的に決定され、限られた範囲でほぼ一定であることがわかっています。 $E/p$ 任意のガスに対して。たとえば、空気は $E/p$ 450～7500 V/(kPa·cm)の範囲で、 $A$ = 112.50 (kPa·cm) ⁻¹および $B$ = 2737.50 V/(kPa·cm)。^{[ 6 ]}

この方程式のグラフはパッシェン曲線です。 $pd$ そして微分をゼロに設定すると、最小電圧が求められる。これにより、

pd={\frac {e\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{{\mathit {\gamma }}_{se}}}\right)}{A}}

最小破壊電圧の発生を予測する $pd$ = 7.5×10⁻⁶ ^m ・atm。これは、標準大気圧の空気中で、7.5 μmの距離において327 Vに相当します。

ガスの組成によって、最小アーク電圧とアークが発生する距離の両方が決まります。アルゴンの場合、最小アーク電圧は137V で、距離は12μmと比較的大きくなります。二酸化硫黄の場合、最小アーク電圧は457V で、距離はわずか4.4μmです。

長い間隔

標準温度圧力（STP）の空気の場合、1メートルのギャップでアーク放電を起こすのに必要な電圧は約3.4 MVです。^{[ 7 ]}したがって、このギャップの電界強度は3.4 MV/mです。

最小電圧ギャップを横切ってアーク放電を起こすのに必要な電界は、1メートルのギャップをアーク放電するのに必要な電界よりもはるかに大きい。大きなギャップ（または大きなpd）では、パッシェンの法則が破綻することが知られている。大きなギャップでは、通常、破壊のミーク基準が使用される。 ^{[ 8 ]} これは、電界の不均一性と、長距離にわたって発生する可能性のあるギャップ内の電荷の蓄積によるストリーマーの形成を考慮に入れている。7.5 μmのギャップの場合、アーク電圧は327 Vで、これは43 MV/mである。これは、1.5メートルのギャップの電界強度の約14倍である。この現象は実験的に十分に検証されており、パッシェンの最小値と呼ばれている。

この式は、 1気圧の空気中で約10μm以下のギャップでは精度が低下し^{[ 9 ]} 、約2.7μmのギャップでは無限大のアーク電圧を誤って予測します。また、陰極表面からの電界放出が重要になる非常に小さな電極ギャップでは、破壊電圧がパッシェン曲線の予測と異なる場合もあります。

物理的メカニズム

気体中の分子の平均自由行程は、分子が他の分子と衝突するまでの平均距離です。これは、温度が一定の場合、気体の圧力に反比例します。標準状態（STP）の空気中では、分子の平均自由行程は約 96 nm です。電子ははるかに小さいため、分子と衝突するまでの平均距離は約 5.6 倍、つまり約 0.5 μm になります。これは、最小アーク電圧の電極間の間隔 7.5 μm のかなりの割合です。電子が 43 MV/m の電界中にある場合、電界の方向に 0.5 μm 移動する間に加速され、21.5 eVのエネルギーを獲得します。窒素分子から電子をはじき出すのに必要な最初のイオン化エネルギーは約 15.6 eV です。加速された電子は、窒素分子をイオン化するのに必要なエネルギーを十分に獲得します。この解放された電子は、さらに加速され、別の衝突につながります。連鎖反応により雪崩放電が発生し、放出された電子の連鎖からアーク放電が起こる。^[¹⁰^]

高圧ガス中では、電極間の電子経路でより多くの衝突が発生する。圧力とギャップの積が $pd$ 電界強度が高い場合、電子は陰極から陽極へ移動する際に、さまざまなガス分子と衝突します。それぞれの衝突によって電子の方向がランダム化されるため、電子は常に電界によって加速されるわけではなく、時には陰極に向かって戻り、電界によって減速されることもあります。

衝突によって電子のエネルギーは減少し、分子をイオン化することがより困難になる。衝突回数が増えることでエネルギー損失が大きくなるため、電子が多くのガス分子をイオン化するのに十分なエネルギーを蓄積するには、より高い電圧が必要となる。そして、このエネルギー蓄積は、雪崩放電を引き起こすために必要な条件となる。

パッシェン極小値の左側では、 $pd$ 生成物が小さい場合、電子の平均自由行程は電極間のギャップに比べて長くなる可能性があります。この場合、電子は大量のエネルギーを得る可能性がありますが、電離衝突の回数は少なくなります。したがって、雪崩現象を引き起こすのに十分な量のガス分子を電離させるには、より高い電圧が必要になります。

導出

基本

突破電圧を計算するには、均一な電界を仮定します。これは平行平板コンデンサの構成の場合に当てはまります。電極間の距離は $d$ 陰極は、 $x=0$ 。

衝撃電離を起こすには、電子エネルギー $E_{e}$ イオン化エネルギーよりも大きくならなければならない $E_{\text{I}}$ プレート間のガス原子。経路の長さあたり。 $x$ 数多くの $\alpha$ 電離反応が起こる。 $\alpha$ タウンゼントによって導入されたため、第一タウンゼント係数として知られています。 ^{[ 11 ]} 電子電流の増加 $\displaystyle \Gamma _{e}}$ 想定される設定では、次のように説明できます。

（したがって、陽極の自由電子の数は、陰極の自由電子の数に衝撃電離を掛けたものに等しくなります。 $d$ および/または $\alpha$ （自由電子が生成されるほど）

生成された電子の数は

同一原子の複数回のイオン化の可能性を無視すれば、生成されるイオンの数は生成される電子の数と同じである。

$\displaystyle \Gamma _{i}}$ はイオン電流です。放電を継続させるには、陰極表面で自由電子を生成する必要があります。これは、陰極に衝突したイオンが衝突時に二次電子を放出するため可能です。（非常に大きな印加電圧では、電界放出も発生する可能性があります。）電界放出がない場合、次のように書くことができます。

どこ $\gamma$ はイオンあたりに生成される二次電子の平均数です。これは第2タウンゼント係数とも呼ばれます。 $\Gamma _{i}(d)=0$ （ 4）を（3）に代入して変換すると、タウンゼント係数間の関係が得られる。

衝撃電離

量はどれくらいですか $\alpha$ イオン化の数は、電子が気体分子に衝突する確率に依存します。この確率は $P$ 電子とイオンの衝突の断面積の関係 $\sigma$ 全体面積との関連で $A$ 電子が通過できるもの：

式の後半部分で示されているように、確率は電子がたどった経路の関係として表すこともできる。 $x$ 平均自由行程 $\lambda$ （別の衝突が発生するまでの距離）

断面の可視化 $\sigma$ *粒子b*の中心が青い円を貫通すると、粒子aとの衝突が発生します。したがって、円の面積は断面積であり、半径は $r$ これは粒子の半径の合計です。

{\displaystyle \sigma } — 断面の可視化 $\sigma$ *粒子b*の中心が青い円を貫通すると、粒子aとの衝突が発生します。したがって、円の面積は断面積であり、半径は $r$ これは粒子の半径の合計です。

$N$ は、電子が衝突できる分子の数です。これは、理想気体の状態方程式を用いて計算できます。

（

p

：プレッシャー、

V

：音量、

k_{B}

:ボルツマン定数、

T

：温度）

隣のスケッチは、 $\sigma =\pi (r_{a}+r_{b})^{2}$ 電子の半径はイオンの半径に比べて無視できるほど小さいので $r_{I}$ 簡略化すると $\sigma =\pi r_{I}^{2}$ この関係式を用いて、（７）を（６）に代入し、変換すると $\lambda$ 1つ手に入れる

要因 $L$ より分かりやすくするために導入されたものです。

経路上のあらゆる点における、まだ衝突していない電子の電流の変化 $x$ 次のように表現できます

この微分方程式は簡単に解くことができます。

確率 $\lambda >x$ （その時点ではまだ衝突は起きていなかった） $x$ ）は

その定義によれば $\alpha$ これは、経路長あたりのイオン化回数であり、したがって、イオンの平均自由行程で衝突が起こらなかった確率と電子の平均自由行程との関係である。

エネルギーは $E$ 荷電粒子が衝突の間に到達できる距離は、電場の強さに依存する。 ${\mathcal {E}}$ そしてその告訴 $Q$ :

破壊電圧

平行平板コンデンサの場合、 ${\mathcal {E}}={\frac {U}{d}}$ 、どこ $U$ は印加電圧です。単一イオン化が想定されました。 $Q$ 基本電荷は $e$ （ 13）と（8）を（12）に代入すると、

これを（５）に代入して変換すると $U$ 破壊電圧についてはパッシェンの法則が得られる。 $U_{\mathrm {breakdown} }$ これはパッシェンによって ^{[ 4 ]で初めて調査され、その公式はタウンゼントによって}^[¹²^] で初めて導出された。

と

{\textstyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{B}T}}}

プラズマ点火

タウンゼントの定義におけるプラズマ点火（タウンゼント放電）とは、外部からの自由電子源に依存しない自己持続放電のことである。これは、陰極からの電子が遠く離れた陽極まで到達できることを意味する。 $d$ そして途中で少なくとも１つの原子をイオン化する。したがって、定義によれば $\alpha$ この関係は満たされなければならない。

もし $\alpha d=1$ （５）の代わりに、破壊電圧に対して得られるものが使用されます。

結論、妥当性

パッシェンの法則は以下を要求する。

陰極にはすでに自由電子が存在する（ $\Gamma _{e}(x=0)\neq 0$ ）加速されて衝撃電離を引き起こすことができる。このようないわゆるシード電子は、自然放射能や宇宙線による電離によって生成される。
自由電子の生成は、衝撃電離によってのみ起こります。したがって、外部に電子源が存在する場合は、パッシェンの法則は成り立ちません。例えば、光電効果によって二次電子を生成する光源などがこれに該当します。実験においては、この点を考慮する必要があります。
イオン化された原子はそれぞれ1個の自由電子しか生み出さない。しかし、実際には常に複数のイオン化が起こる。
陰極表面の自由電子は、衝突するイオンによって生成される。問題は、それによって生成される電子の数が、陰極の材料、表面（粗さ、不純物）、および環境条件（温度、湿度など）に大きく依存することである。この要因を実験的に再現性よく決定することが重要である。 $\gamma$ したがって、それはほぼ不可能である。
電場は均一である。

さまざまなガスによる影響

気体の種類によって、分子や電子の平均自由行程は異なります。これは、分子の種類によってイオン化断面積、つまり有効直径が異なるためです。ヘリウムやアルゴンなどの希ガスは単原子分子であるため、イオン化されにくく、有効直径が小さくなる傾向があります。そのため、平均自由行程が長くなります。

分子によってイオン化ポテンシャルは異なり、軌道から弾き出された電子を再び捕獲する速度も異なります。これら3つの要因すべてが、自由電子の指数関数的な増加を引き起こすために必要な衝突回数を変化させます。これらの自由電子はアーク放電を引き起こすために不可欠です。

参考文献

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外部リンク

MEMSの電気的破壊限界（ 2011年9月27日にWayback Machineにアーカイブ済み）
高電圧実験者ハンドブック（2011年10月16日時点のアーカイブ）
パッシェンの法則計算機
破壊電圧と圧力の関係（インターネットアーカイブ、2023年4月16日）
低圧ガスの電気的破壊
放電
110GHzマイクロ波ガス放電におけるプラズマ構造の圧力依存性

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パッシェンの法則

パッシェン曲線

長い間隔

物理的メカニズム

導出

基本

衝撃電離

破壊電圧

プラズマ点火

結論、妥当性

さまざまなガスによる影響

関連項目

参考文献

外部リンク

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ヘリウム、ネオン、アルゴン、水素、窒素について得られたパッシェン曲線は、第1タウンゼント係数

破壊電圧

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