定性的命題

論理学において、定言命題または定言文とは、あるカテゴリ（主語項）のすべてまたは一部のメンバーが別のカテゴリ（述語項）に含まれることを主張または否定する命題である。^{[1]定言文（}三段論法）を使用した議論の研究は、古代ギリシャに始まった演繹的推論の重要な分野を形成している。

アリストテレスなどの古代ギリシャ人は、カテゴリ命題の 4 つの主要なタイプを特定し、それらに標準形式を与えました (現在ではA、E、I、Oと呼ばれることが多い)。抽象的に、主語カテゴリをS、述語カテゴリをPと名付けると、4 つの標準形式は次のようになります。

• すべてのSはPです。( A形式)
• SはPではありません。（Eフォーム）
• いくつかのSはPです。（Iフォーム）
• 一部のS はPではありません。( O型)

多数の文は、文の本来の意味のすべてまたはほとんどを保持しながら、これらの標準形式のいずれかに翻訳できます。ギリシャの研究の結果、いわゆる対立の正方形が生まれました。これは、異なる形式間の論理関係を成文化したものです。たとえば、AステートメントはOステートメントと矛盾します。つまり、たとえば、「すべてのリンゴは赤い果物である」と信じている人は、同時に「いくつかのリンゴは赤くない果物である」と信じることはできません。したがって、対立の正方形の関係により、即時の推論が可能になり、それによって、ある形式のステートメントの真偽が、別の形式のステートメントの真偽から直接導かれる場合があります。

定言命題の現代的な理解（19 世紀半ばのジョージ・ブールの著作に端を発する）では、主語のカテゴリが空である可能性があるかどうかを検討する必要があります。空である場合、これは仮説的観点と呼ばれ、主語のカテゴリに少なくとも 1 つのメンバーが必要であることを要求する実存的観点と対立します。実存的観点は仮説的観点よりも強い立場であり、適切な場合には、他の方法よりも多くの結果を推論できます。仮説的観点はより弱い観点であるため、従来の対立の四角形に存在する関係の一部を除去する効果があります。

3 つの定言命題 (前提として 2 つ、結論として 1 つ) からなる議論は定言三段論法として知られ、古代ギリシャの論理学者の時代から中世にかけて極めて重要でした。定言三段論法を使用した形式的な議論は、第一階述語計算などの現代の論理システムの表現力の向上に大きく取って代わられましたが、歴史的および教育的重要性に加えて、実用的な価値も依然として保持しています。

自然言語の文は標準形式に翻訳できます。次の表の各行で、S は例文の主語に対応し、 P は述語に対応します。

「すべてのS はPではない」 (例: 「すべての猫が 8 本足ではない」) は標準形式の例として分類されないことに注意してください。これは、自然言語への翻訳が曖昧だからです。日常会話では、「すべての猫が 8 本足ではない」という文は、非公式には (1)「少なくとも一部の猫、おそらくすべての猫が 8 本足ではない」または (2)「8 本足の猫はいない」のいずれかを示すために使用されます。

定言命題は、「質」と「量」、つまり「項の分布」に基づいて4つのタイプに分類できます。これらの4つのタイプは、長い間、A、E、I、Oと名付けられてきました。これは、肯定命題AとIを指すラテン語のaff i rmo（私は肯定します）と、否定命題EとOを指すn e g o（私は否定します）に基づいています。[ 2 ^]

量とは、命題で使用される主題クラス（クラスとは、カテゴリカル命題の主語または述語のいずれかである用語によって指定されるものの集合またはグループです。^[3]）のメンバーの数を指します。命題が主題クラスのすべてのメンバーを参照する場合、それは普遍的です。命題が主題クラスのすべてのメンバーを使用しない場合、それは個別的です。たとえば、I命題（「あるSはPである」）は、主題クラスの一部のメンバーのみを参照するため、個別です。

質これは、命題が述語のクラス内に主語が含まれることを肯定するか否定するかとして説明されます。2つの可能な質は、肯定的と否定的と呼ばれます。^[4] たとえば、A命題（「すべてのSはPである」）は、主語が述語内に含まれていると述べているため肯定的です。一方、O命題（「一部のSはPではない」）は、述語から主語を除外するため否定的です。

重要な考慮事項は、 some という単語の定義です。論理では、some は「1つ以上」を指し、これは「すべて」と一致します。したがって、「Some S is P」という文は、「Some S is not P」という文も真であることを保証するものではありません。

定言命題の 2 つの用語 (主語と述語) は、それぞれ分散型または非分散型に分類できます。用語のクラスのすべてのメンバーが命題の影響を受ける場合、そのクラスは分散型です。そうでない場合は非分散型です。したがって、すべての命題には、用語の4 つの可能な分布のいずれかがあります。

4 つの標準形式それぞれについて、その項の分布について順に検討します。ここでは説明しませんが、 4 つの形式の項の分布を理解するには、ベン図が役立つ場合があります。

A命題は主語を述語に分配しますが、その逆は行いません。次のカテゴリ命題を考えてみましょう: 「すべての犬は哺乳類である」。すべての犬は確かに哺乳類ですが、すべての哺乳類が犬であると言うのは誤りです。すべての犬は哺乳類のクラスに含まれるため、「犬」は「哺乳類」に分配されていると言えます。すべての哺乳類が必ずしも犬であるとは限らないため、「哺乳類」は「犬」に分配されていません。

E命題は、主語と述語の間で双方向に分配されます。カテゴリ命題「甲虫は哺乳類ではない」からは、哺乳類は甲虫ではないと推論できます。すべての甲虫は哺乳類ではないと定義され、すべての哺乳類は甲虫ではないと定義されているため、両方のクラスが分配されます。

空集合は、主語と述語のクラス分布の特殊なケースです。

I命題の両方の項は非分配的です。たとえば、「一部のアメリカ人は保守派である」。どちらの項も、他方に完全に分配されることはありません。この命題から、すべてのアメリカ人が保守派である、またはすべての保守派がアメリカ人であると言うことはできません。この文の曖昧さに注意してください。これは、「一部のアメリカ人 (または他のアメリカ人) は保守派である」( de dicto ) という意味にも、「一部のアメリカ人 (特にアルバートとボブ) は保守派である」( de re )という意味にもなります。

O命題では、述語のみが分散されます。次の例を考えてみましょう。「一部の政治家は腐敗していない」。すべての政治家がこの規則で定義されるわけではないので、主語は分散されません。ただし、述語は分散されます。なぜなら、「腐敗した人々」のすべてのメンバーが「一部の政治家」として定義される人々のグループに一致するわけではないからです。規則は腐敗した人々のグループのすべてのメンバーに適用されるため、つまり「すべての腐敗した人々は一部の政治家ではない」ため、述語は分散されます。

O命題における述語の分配は、その曖昧さのために混乱を招くことが多い。「一部の政治家は腐敗していない」などの文が「腐敗した人々」グループを「一部の政治家」に分配すると言われる場合、その情報はあまり価値がないと思われる。なぜなら、「一部の政治家」グループが定義されていないからである。これは、内包文( )、つまり「一部の政治家 (またはその他) は腐敗していない」のde dicto解釈である。しかし、たとえば、この「一部の政治家」グループがAlbert という1 人の人物を含むように定義されている場合、関係はより明確になる。これは、内包文 ( )、つまり「一部の政治家 (特に) は腐敗していない」のde re解釈である。すると、この文は、腐敗した人々グループにリストされているすべてのエントリのうち、1 つも Albert ではない、つまり「腐敗した人々はすべて Albert ではない」ということを意味する。これは、「腐敗した人々」グループのすべてのメンバーに適用される定義であり、したがって分配される。 ${\displaystyle \Box \exists {x}[Pl_{x}\land \neg C_{x}]}$${\displaystyle \exists {x}\Box [Pl_{x}\land \neg C_{x}]}$

つまり、主語が分配されるためには、文は普遍的でなければなりません（例：「すべて」、「いいえ」）。述語が分配されるためには、文は否定的でなければなりません（例：「いいえ」、「ない」）。^[5]

ピーター・ギーチらは、議論の妥当性を判断するために分布を使用することを批判している。^{[6] [7]}

「Aの中にはBではないものもある」という形式の文は、「すべてのAがBであるわけではない」と表現した方が問題が少なくなると示唆されている^{[8]。これはおそらく、この種の文の}アリストテレスの元の形式に近い翻訳である。 ^[9]

もう一つの批判は、「すべての腐敗した人々が政治家ではない」から「すべての腐敗した人々が政治家ではない」（「腐敗した人々は政治家ではない」という意味か「すべての腐敗した人々が政治家ではない」という意味かはともかく、元の「一部の政治家は腐敗していない」とは異なる）または「すべての腐敗した人々が政治家ではない」（これも異なる）までには、少しステップがあるというものである。

カテゴリカル ステートメントを別のステートメントに変更するために実行できる操作 (変換、反転、対置など) がいくつかあります。新しいステートメントは、元のステートメントと同等である場合もそうでない場合もあります。[このような操作を示す次の表では、各行で、1 つの緑色のボックス内のステートメントが別の緑色のボックス内のステートメントと同等である場合はボックスが緑色で表示され、1 つの赤色のボックス内のステートメントが別の赤色のボックス内のステートメントと同等でない場合はボックスが赤色で表示されます。黄色のボックス内のステートメントは、同じ黄色のボックスに記載されている条件が満たされている場合、左端のボックス内のステートメントによって暗示されるか有効であることを意味します。

一部の操作では、クラス補集合の概念が必要です。これは、クラスの要素ではない、検討中のすべての要素を指します。クラス補集合は、セット補集合と非常によく似ています。セット P のクラス補集合は、「非 P」と呼ばれます。

最も単純な操作は、主語と述語の用語が交換される変換です。これは、物質的含意ステートメントが別の物質的含意ステートメントに変換される (変換)現代論理における含意の逆とは異なることに注意してください。両方の変換は、A タイプのカテゴリ ステートメントに対してのみ同等です。 ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle Q\rightarrow P}$

E形式またはI形式のステートメントから、その逆を結論付けることは有効です (これらは同等であるため)。これは、 A形式とO形式の場合には当てはまりません。

転置は、文と述語項の質（つまり肯定か否定か）を変える。 ^[10]たとえば、転置によって、普遍肯定文は、元の普遍肯定文の述語項のクラス補語である述語項を持つ普遍否定文になる。4つの範疇文の現代形式では、述語項Pに対応する文の否定、は、転置における各範疇文の述語項「非P」として解釈される。 の等式は、肯定的な範疇文を転置するために使用できる。 ${\displaystyle \neg Px}$${\displaystyle Px=\neg (\neg Px)}$

カテゴリカルなステートメントは、その表側と論理的に同等です。そのため、いずれかの形式を示すベン図は、その表側を示すベン図と同一になります。

対置とは、カテゴリ文の主語と述語を同時に交換および否定するプロセスです。また、カテゴリ文の反転（反転の結果）を変換（変換を適用）することにも相当します。この伝統的な論理における対置は、物質的含意文とが論理的に同等であると述べる現代の論理における対置（転置とも呼ばれる）と同じではないことに注意してください。両方の対置は、A タイプのカテゴリ文に対してのみ同等です。 ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

第一階述語論理は、定言命題によって与えられる論理よりもはるかに表現力豊かな論理です。第一階述語論理では、4 つの形式は次のように表現できます。

• フォーム:${\displaystyle \forall {x}[S_{x}\rightarrow P_{x}]\equiv \forall {x}[\neg S_{x}\lor P_{x}]}$
• Eフォーム:${\displaystyle \forall {x}[S_{x}\rightarrow \neg P_{x}]\equiv \forall {x}[\neg S_{x}\lor \neg P_{x}]}$
• 私は次のように形成します:${\displaystyle \exists {x}[S_{x}\land P_{x}]}$
• Oフォーム:${\displaystyle \exists {x}[S_{x}\land \neg P_{x}]}$

• 反対の広場
• 用語ロジック

• コピ、アーヴィング・M. ;コーエン、カール(2009)。論理学入門。プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-136419-6。
• ダマー、T. エドワード( 2008)。誤った推論への対処。Cengage Learning。ISBN 978-0-495-09506-4。
• ギーチ、ピーター（1980年）。 『 Logic Matters』カリフォルニア大学出版局。ISBN 978-0-520-03847-9。
• バウム、ロバート(1989)。論理学。ホルト、ライナーハート、ウィンストン社。ISBN 0-03-014078-1。

• ChangingMinds.org: カテゴリカル命題
• Catlogic: カテゴリカル命題と三段論法を構築、調査、計算するための Ruby で書かれたオープンソースのコンピュータ スクリプト