粒子を含んだ流れ

粒子を含んだ流れとは、 2相流体の流れの一種で、一方の相は連続的につながっていて（連続相またはキャリア相と呼ばれる）、もう一方の相は小さく混ざり合わない、通常は希薄な粒子（分散相または粒子相と呼ばれる）で構成されています。空気中の微細なエアロゾル粒子は粒子を含んだ流れの一例であり、エアロゾルは分散相で、空気はキャリア相です。^[1]

二相流のモデリングには、大気中の汚染拡散、燃焼プロセスにおける流動化、噴霧薬におけるエアロゾル沈着など、多種多様な工学的および科学的用途があります。

ほぼすべての種類の流体の流れを数学的に記述するための出発点は、古典的なナビエ・ストークス方程式のセットです。粒子を含んだ流れを記述するには、粒子がキャリアに与える影響、またはその逆、またはその両方を考慮してこれらの方程式を修正する必要があります。このような追加の複雑さの適切な選択は、さまざまなパラメーター、たとえば、粒子の密度、濃度、または化学的に反応性があるかどうかによって異なります。実際のほとんどのケースでは、粒子は非常に小さく、低濃度で存在するため、ダイナミクスは主に連続相によって決まります。キャリア相のダイナミクスを表す可能性のある方法は、次の修正ナビエ・ストークス運動量方程式です。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho u_{i}}{dt}}+{\frac {\partial \rho u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}+S_{i},}$

ここで、は粒子相の存在から生じる運動量のソースまたはシンク項です。上記の式はオイラー方程式です。つまり、ダイナミクスは空間内の固定点の観点から理解されます。分散相は、通常 (常にではありませんが) ラグランジュの枠組みで扱われます。つまり、ダイナミクスは空間を移動する固定粒子の観点から理解されます。粒子の運動量方程式の一般的な選択は次のとおりです。 ${\displaystyle S_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dv_{i}}{dt}}={\frac {1}{\tau _{p}}}(u_{i}-v_{i}),}$

ここで、 はキャリア位相速度を表し、 は粒子速度を表します。は粒子の緩和時間であり、 はキャリア位相速度の変化に対する粒子の反応の典型的な時間スケールを表します。大まかに言えば、これは、粒子を含む流体に対する粒子の慣性と考えることができます。 上記の式の解釈は、粒子の動きが抗力によって妨げられるというものです。 実際には、粒子の動きに作用するさまざまな力（重力、バセット履歴、追加質量など）があり、たとえばバセット・ブシネスク・オゼーン方程式で説明されています。 ただし、粒子の密度が媒体の密度をはるかに超える多くの物理的例では、上記の式で十分です。^[2] 一般的な仮定は、粒子が球形である場合です。この場合、抗力はストークス抗力仮定を使用してモデル化されます。 ${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \tau_{p}}$

${\displaystyle \tau_{p}={\frac{\rho_{p}d_{p}^{2}}{18\mu}}.}$

ここで、は粒子の直径、は粒子の密度、およびキャリア相の動粘度です。より洗練されたモデルには、補正係数が含まれます。 ${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle \rho_{p}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \tau _{p}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu }}(1+0.15Re_{p}^{0.687})^{ -1},}$

ここで、粒子のレイノルズ数は次のように定義されます。 ${\displaystyle Re_{p}}$

${\displaystyle Re_{p}={\frac {|{\vec {u}}-{\vec {v}}|d_{p}}{\nu }}.}$

分散相の質量分率が小さい場合、相間の一方向の結合が合理的な仮定です。つまり、粒子相のダイナミクスはキャリア相の影響を受けますが、その逆は当てはまりません。ただし、分散相の質量分率が大きい場合は、2 つの相間のダイナミクスの相互作用を考慮する必要があります。これが双方向の結合です。

分散相のラグランジアン処理の問題点は、粒子の数が多くなると、統計的収束に必要な十分な量の粒子サンプルを追跡するために、膨大な計算能力が必要になる可能性があることです。さらに、粒子が十分に軽い場合、粒子は本質的に第 2 の流体のように動作します。この場合、分散相のオイラー処理が理にかなっています。

すべての流体力学関連分野と同様に、粒子を含んだ流れのモデリングは研究者にとって大きな課題です。これは、実際に関心のある流れのほとんどが乱流であるためです。

単相流の直接数値シミュレーション(DNS) は、二相流は言うまでもなく、計算コストが非常に高く、実用的な工学的関心のモデルに必要な計算能力は、到底手の届かないものです。多くの場合、流れの大規模な定性的挙動のみをモデル化することに関心があるため、レイノルズ平均ナビエ・ストークス(RANS) アプローチによって、流速を平均成分と変動成分に分解するというアプローチが考えられます。DNS と RANS の妥協案は、ラージ エディ シミュレーション(LES) です。LES では、流体の動きの小規模なスケールをモデル化し、より大きく分解されたスケールを直接シミュレートします。

実験的観察および DNS は、優先濃度がモデル化すべき重要な現象であることを示しています。粒子 (特にストークス数が 1 に近い粒子) は、高せん断および低渦度の領域 (乱流境界層など) に蓄積することが知られていますが、この現象の背後にあるメカニズムは十分に理解されていません。さらに、粒子は乱流強度勾配に沿って移動することが知られています (このプロセスはターボフォレシスとして知られています)。これらの特徴は、時間とともに変化する情報が失われすぎるため、RANS または LES ベースのモデルを使用して捉えることが特に困難です。

これらの困難さのため、既存の乱流モデルはアドホックになる傾向があります。つまり、特定のモデルの適用範囲は通常、非常に特殊なパラメータセット（形状、分散相の質量負荷、粒子の反応時間など）に適しており、低いレイノルズ数にも制限されます（一方、工学的に興味深い流れのレイノルズ数は非常に高くなる傾向があります）。

粒子を含んだ流れの興味深い側面は、流体の流れ内の特定の領域への粒子の優先的な移動です。これは、粒子のストークス数 (St) によって特徴付けられることがよくあります。St が低い場合、粒子はトレーサーとして作用し、均一に分散する傾向があります。St が高い場合、粒子は重くなり、流体の影響は少なく、流体の慣性の影響が大きくなります。St が中程度の場合、粒子は流体の動きと慣性の両方の影響を受け、いくつかの興味深い動作が発生します。これは、壁の近くに速度勾配がある壁に囲まれた流れに特に当てはまります。

優先移動を説明した最も初期の研究の1つは、セグレとシルバーバーグの実験研究です。^{[3] [4]}彼らは、層流パイプ内の中性浮力粒子が壁と軸の間で平衡位置になることを示しました。これはセグレ-シルバーバーグ効果と呼ばれています。サフマンは、粒子が速度勾配を経験するときに粒子に作用する力の観点からこれを説明しました。フェンらは、詳細な直接数値シミュレーションを通じてこれを研究し、この移動の物理的メカニズムを詳しく説明しました。

最近、中性でない浮力を持つ粒子でも同様の優先移動が起こることがわかった。^{[5] [6]}低いStでは、粒子は平衡位置に落ち着く傾向があるが、高いStでは、粒子はチャネルの中心の周りを振動し始める。

乱流では、その挙動はさらに興味深いものになります。ここでは、ターボフォレティック力（乱流運動エネルギーの勾配に沿って粒子を輸送する力）により、壁の近くに粒子が集中します。実験的および粒子分解DNS研究では、この移動のメカニズムがサフマン揚力とターボフォレティック力の観点から説明されています。^{[7] [8]}これらの優先的な移動は、壁に囲まれた粒子を含んだ流れが発生するいくつかのアプリケーションで非常に重要であり、活発な研究分野です。

• Mashayek, F. および Pandya, RVR (1921)、「エネルギーと燃焼科学の進歩」 20、196、196–212。
• Jebakumar、AS、Premnath KN、Abraham J. (2016)、Computers and Fluids 124、208、208–219。