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ゲーム理論におけるパラドックスであるパロンドのパラドックスは、負け戦略の組み合わせが勝ち戦略になる仕組みを説明するものである。[ 1 ]このパラドックスは、1996年に発見したフアン・パロンドにちなんで名付けられた。
簡単な例として、2つのコイン投げゲームを考えてみましょう。ゲームAでは、50.5%の確率で負ける偏りのあるコインを使用します。一方、ゲームBでは、現在の賞金が偶数か奇数かに応じて、偏りのある2種類のコインが切り替わります。どちらのゲームも単体ではハウス側に有利ですが、交互にプレイすることで、全体として有利な戦略が生まれます。これは、交互にプレイすることでプレイヤーがゲームBの有利な状態にとどまる時間が長くなり、ゲームAの一貫した偏りによってシステムが有利な状態にリセットされるためです。
パロンドはこのパラドックスを、物理学者リチャード・ファインマンが広めた、ランダムな熱運動からエネルギーを取り出すことができるとされる機械に関する思考実験であるブラウンラチェットの分析に関連して考案した。しかし、厳密に分析するとパラドックスは消滅する。[ 2 ]パロンドのパラドックスが発表される前から、生物学ではさまざまな敗北戦略の組み合わせからなる勝利戦略が研究されていた。[ 3 ]
図 1 に示すように、同じ高さの 2 つの点AとBがある例を考えてみましょう。最初のケースでは、それらを結ぶ平坦なプロファイルがあります。ここで、ランダムに前後に動く丸いビー玉を中央に置くと、ビー玉はランダムに転がりますが、両端に向かって等しい確率で転がります。次に、2 つの点の間に鋸歯状のプロファイルがある 2 番目のケースを考えてみましょう。ここでも、ビー玉は局所的な傾斜に応じてどちらかの端に向かって転がります。ここで、図 2 に示すようにプロファイル全体を右に傾けると、どちらのケースもBに偏ることが明らかです。
次に、2つのプロファイルを交互に使用し、一方のプロファイルからもう一方のプロファイルに切り替える間隔を慎重に選択するゲームについて考えてみましょう。
最初のプロファイル上の点Eに数個のビー玉を置くと、ビー玉は平面上に分布し、点Bに向かって優先的に移動します。しかし、ビー玉の一部が点Cを通過したが点Dを通過していない状態で 2 番目のプロファイルを適用すると、ビー玉の大部分は点E (最初に開始した場所)に戻りますが、ビー玉が谷に転がるのに十分な時間があれば、点Aに向かう谷にもビー玉が残ります。次に、最初のプロファイルを再度適用し、手順を繰り返します (点C、D、Eは、 Aに最も近い最終的な谷を指すように 1 つずつ移動します)。最初のビー玉が点Dを通過する前にビー玉が点Cを通過しない場合は、最初のビー玉が点Dを通過する直前に2 番目のプロファイルを適用して、最初からやり直す必要があります。
最終的には、地点Aにはビー玉があるが、地点Bにはビー玉がない状態になることは容易に理解できる。したがって、地点Aにビー玉があることを勝利、地点Bにビー玉があることを敗北と定義すれば、2つの敗北ゲームを（適切なタイミングで）交互にプレイすることで、明らかに勝利することができる。
パロンドのパラドックスの3つ目の例は、ギャンブルの分野から取られています。次のルールに従って、ゲームAとゲームBという2つのゲームをプレイすることを考えてみましょう。便宜上、と定義します。時刻tにおける我々の資本金、つまりゲーム開始直前の資本金とする。
ゲームAをプレイすると、長期的にはほぼ確実に負けることは明らかです。ハーマーとアボット[ 1 ]はシミュレーションによって、もしそしてゲーム B もほぼ確実に負けるゲームです。実際、ゲーム B はマルコフ連鎖であり、その状態遷移行列 (M=3 の場合) の分析によると、コイン 2 を使用する定常状態確率は 0.3836、コイン 3 を使用する定常状態確率は 0.6164 です。[ 4 ]コイン 2 は 40% 近く選択されるため、ゲーム B の利得に不均衡な影響を与え、結果として負けるゲームとなります。
しかし、これら2つの負けゲームを何らかの交互の順序でプレイすると、例えばAゲームを2回、Bゲームを2回（AABBAABB...）プレイした場合、逆説的に、この2つのゲームの組み合わせは勝ちゲームとなる。AとBを交互にプレイするすべての順序が勝ちゲームになるわけではない。例えば、Aゲームを1回、Bゲームを1回（ABABAB...）プレイすると負けゲームとなるが、Aゲームを1回、Bゲームを2回（ABBABB...）プレイすると勝ちゲームとなる。このコイン投げの例は、パロンドのパラドックスの典型的な例となっている。つまり、それぞれ単独でプレイするとどちらも負けとなる2つのゲームが、特定の交互の順序でプレイすると勝ちゲームになるということである。
この明らかな矛盾は、マルコフ連鎖[ 5 ] 、フラッシングラチェット[ 6 ] 、シミュレーテッドアニーリング[ 7 ]、情報理論[ 8 ]など、多くの高度な手法を用いて説明されてきた。この明らかな矛盾を説明する一つの方法は以下のとおりである。
の役割ここで、この点が明確になります。これは、ゲーム A とゲーム B の間に依存関係を生じさせるためだけに機能し、プレイヤーがゲーム B でプラスの期待値を持つ状態に入りやすくなり、ゲーム A の損失を克服できるようにします。この理解があれば、パラドックスは解決します。個々のゲームは、複合ゲームをプレイする際に実際に遭遇する分布とは異なる分布の下でのみ損失を被っているのです。要約すると、パロンドのパラドックスは、依存関係がいかに単純な独立性の仮定の下で行われる確率計算を混乱させるかを示す例です。この点に関するより詳細な説明といくつかの関連例は、Philips と Feldman の文献に記載されています。[ 9 ]
パロンドのパラドックスはゲーム理論で広く用いられており、工学、人口動態[ 3 ] 、金融リスクなどへの応用は活発な研究分野となっている。パロンドのゲームは、株式市場への投資[ 10 ]など、実用上はほとんど役に立たない。これは、元のゲームでは、相互作用するゲームの少なくとも1つからのペイオフがプレイヤーの資本に依存する必要があるためである。しかし、ゲームは元の形式に限定される必要はなく、現象の一般化に関する研究が続けられている。ボラティリティ・ポンピングや2つの封筒問題[ 11 ]との類似性が指摘されている。証券収益の単純な金融教科書モデルは、長期収益の中央値が負の個別投資を、長期収益の中央値が正の分散ポートフォリオに容易に組み合わせることができることを証明するために使用されてきた[ 12 ]。同様に、最適な賭けルールを説明するためによく使用されるモデルは、複数のゲーム間で賭けを分割することで、長期収益の中央値が負から正に変わることを証明するために使用されてきた。[ 13 ]進化生物学では、細菌のランダムな位相変動[ 14 ]と精度の低いセンサーの進化[ 15 ]の両方がパラドスの観点からモデル化され、説明されています。生態学では、特定の生物が遊牧的行動とコロニー的行動の間で周期的に交代することが、パラドスの現れとして提案されています。[ 16 ]パラドスの結果として多細胞生物の生存をモデル化する興味深い応用があり[ 17 ]、その実現可能性についての興味深い議論もあります。[ 18 ] [ 19 ]パロンドのパラドスの応用は、信頼性理論にも見られます。[ 20 ]
パロンドのパラドックスに関する初期の文献では、パロンド効果が数学的に理解できることを考えると、「パラドックス」という言葉が適切な表現かどうかについて議論されていた。この「逆説的な」効果は、凸線形結合を用いて数学的に説明できる。
しかし、この分野の第一人者であるデレク・アボットは、この文脈における「パラドックス」という言葉の使用について、次のように答えています。「パロンドのパラドックスは本当に『パラドックス』なのでしょうか？この質問は数学者によって時折投げかけられますが、物理学者は通常このようなことを気にしません。まず指摘すべきは、『パロンドのパラドックス』は単なる名前であり、『ブレースのパラドックス』や『シンプソンのパラドックス』と同じです。次に、これらの名前の付いたパラドックスのほとんどがそうであるように、これらはすべて実際には見かけ上のパラドックスです。人々はこのような場合、「見かけ上の」という言葉を省略します。なぜなら、それは長すぎるし、いずれにせよ明白だからです。したがって、厳密な意味でこれらをパラドックスだと主張する人はいません。広い意味では、パラドックスとは単に直感に反するものです。パロンドのゲームは確かに直感に反します。少なくとも、数ヶ月間集中的に研究するまでは。真実これらのゲームを研究するにつれて、私たちを喜ばせる新しい驚くべき発見が次々と生まれてくる。ある数学者は、ゲームは常に彼にとって明白だったので、「パラドックス」という言葉を使うべきではないと不満を述べていた。彼は天才か、そもそもそれを本当に理解していなかったかのどちらかだ。いずれにせよ、そのような人と議論する価値はない。[ 21 ]
