パンルヴェ予想

物理学において、パンルヴェ予想はn体問題の解の特異点に関する定理である。n≥4に対しては衝突しない特異点が存在する。   [ ^{1] [2]}

この定理は、1988年にJeff Xia ^{[3] [4]によって}n  ≥ 5に対して証明され、2014年にJinxin Xue ^{[5] [6]によってn = 4に対して証明されました。}

n体問題(ここで M は質量、U は重力ポテンシャル)の解は、となる有限の に収束する一連の時間がある場合に特異点を持つと言われます。つまり、ある有限の時点で力と加速度が無限大になるということです。 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t^{*}}$${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$

衝突特異点は、が特定の極限に近づくときに発生します。 極限が存在しない場合、特異点は擬似衝突特異点または非衝突特異点と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$

ポール・パンルヴェは、n = 3 の場合、有限時間特異点を持つ解は衝突特異点を経験することを示した 。しかし、彼はこの結果を 3 体以上に拡張することに失敗した。1895 年のストックホルムでの講義は、次のような予想で終わっている。

n  ≥ 4の場合、 n体問題は非衝突特異点を許容する。^{[7] [8]}

エドヴァルド・フーゴ・フォン・ツァ​​イペルは1908年に、衝突特異点がある場合、 は（ここで慣性モーメント）として一定の極限に近づくことを証明しました。^[9]これは、衝突しない特異点の必要条件は、少なくとも1つの粒子の速度が無制限になることであることを意味します（位置はこの時点で有限のままであるため）。^[1]${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

マザーとマクギーは1975年に、共線4体問題（つまり、すべての物体が一直線上にある問題）において、衝突しない特異点が発生する可能性があるが、それは無限回の（正規化された）二体衝突の後にのみ発生することを証明した。^[10]

ドナルド・G・サーリは1977年に、 2体問題、3体問題、4体問題における平面または空間内のほぼすべての初期条件（ルベーグ測度の意味で）に対して、特異点のない解が存在することを証明した。^[11]

1984年、ジョー・ガーバーは衝突のない平面5体問題における非衝突特異点の議論を行った。^{[12]彼は後に}3n体の場合の証明を発見した。^[13]

最後に、ジェフ・シアは1988年の博士論文で、衝突しない特異点を経験する5体構成を実証しました。^{[3] [4]}

ジョー・ガーバーは4体特異点の存在に関するヒューリスティックモデルを提示した。^[14]

2013年にメリーランド大学で博士論文を書いた薛金馨は、パンルヴェ予想の平面四体問題に対する簡略化されたモデルを検討した。ゲルバーのモデルに基づいて、彼は、有限時間内に速度が無限大まで加速され、それ以前の衝突をすべて回避するハミルトン系の解につながるカントール初期条件集合が存在することを証明した。2014年に薛は以前の研究を拡張し、n=4の場合の予想を証明した。^{[15] [5] [6]}

対称性の制約により、Xia のモデルは 5 体問題にのみ有効です。Gerver-Xue のモデルにはそのような制約がなく、一般的な N>4 体問題に一般化される可能性があります。