オストロフスキーの定理

ある正の整数nが存在して、${\displaystyle |n|_{*}>1.}$kを非負の整数、b を以下の値より大きい正の整数とする。${\displaystyle 1}$私たちは表現します${\displaystyle n^{k}}$基数bにおいて、正の整数mと整数が存在する。${\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}$すべてのiに対して、${\displaystyle 0\leq c_{i}<b}$そして${\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}$。 特に、${\displaystyle n^{k}\geq b^{m-1}}$それで${\displaystyle m\leq 1+k\log _{b}n}$。

各学期${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}}$最大で${\displaystyle (b-1)|b|_{*}^{i}}$（乗法の性質により、${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}}$そして、${\displaystyle c_{i}}$は数字です、${\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}$したがって、三角形の不等式により、${\displaystyle |c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1}$。） その上、${\displaystyle |b|_{*}^{i}}$最大で${\displaystyle \max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}}$三角不等式と上記のmの上限により、次のことが成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}}$

したがって、両辺をべき乗に上げると${\displaystyle 1/k}$我々は得る

${\displaystyle |n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

最後に、 kが無限大に近づくときの極限を取ると、次のことがわかる。

${\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

条件とともに${\displaystyle |n|_{*}>1,}$上記の議論は、${\displaystyle |b|_{*}>1}$bの選択に関係なく（そうでなければ${\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$暗示する${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$) その結果、1より大きいすべての整数は、絶対値が厳密に1より大きい。したがって、上記を一般化すると、2以上の任意の整数nとbに対して、次の式が得られる。

${\displaystyle |n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},}$

つまり

${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.}$

対称性により、この不等式は等式となる。特に、すべての${\displaystyle n\geq 2}$、${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda }$つまり${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$三角不等式は、すべての正の整数nに対して次のことを意味するので、${\displaystyle |n|_{*}\leq n}$この場合、より正確には、${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$。

素数上の値による絶対値の決定に関する上記の結果から、次のことが容易にわかります。${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }}$すべての有理数rに対して、実数の絶対値と等価であることが示される。

すべての整数nに対して、${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$絶対値が自明でないため、正の整数nが存在して、${\displaystyle |n|_{*}<1.}$分解する${\displaystyle |n|_{*}}$素数に関する結果から、${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$そのため${\displaystyle |p|_{*}<1}$我々は、実際にはこれはたった一つの素数にのみ当てはまると主張する。

矛盾を導くために、pとqは絶対値が厳密に1より小さい2つの異なる素数であると仮定する。kを正の整数とする。${\displaystyle |p|_{*}^{k}}$そして${\displaystyle |q|_{*}^{k}}$より小さい${\displaystyle 1/2}$ベズーの恒等式により、${\displaystyle p^{k}}$そして${\displaystyle q^{k}}$互いに素であるとき、2 つの整数aとbが存在し、${\displaystyle ap^{k}+bq^{k}=1.}$これは矛盾を生じさせる。

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.}$

これは、ある一意の素数pが存在し、${\displaystyle |p|_{*}<1}$そして他のすべての素数qに対して、${\displaystyle |q|_{*}=1}$（この2番目のケースの仮説から）${\displaystyle \lambda =-\log _{p}|p|_{*}}$。 から${\displaystyle |p|_{*}<1}$我々は、${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$（そして実際この場合、すべてが肯定的${\displaystyle \lambda }$（p進数と同等の絶対値を与える。）

最終的に確認します${\displaystyle |p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}}$そして他のすべての素数qについては、${\displaystyle |q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}}$。上記の結果に基づき、素数上の値による絶対値の決定から、次の結論が得られます。${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }}$すべての有理数rに対して、この絶対値はp進数と等しいことを意味する。${\displaystyle \blacksquare }$