オシプコフ・メリットモデル

オシプコフ・メリットモデル（レオニード・オシプコフとデイビッド・メリットにちなんで命名）は、球状の恒星系（銀河、星団、球状星団など）の数学的表現です。オシプコフ・メリットの公式は、特定の重力ポテンシャル（星が運動する場所）における特定の密度プロファイル（星を表す）を再現する、1パラメータの位相空間分布関数の族を生成します。密度とポテンシャルは自己無撞着である必要はありません。自由パラメータによって、速度異方性の度合いが等方性から完全な放射状運動まで調整されます。この方法は、等方性球状モデルを構築するためのエディントンの公式^{[ 1 ]}の一般化です 。

この方法は、その名を冠する2人の発見者によって独立に導き出された。^{[ 2 ] [ 3 ]}後者の導出には、接線方向に異方性運動を持つ2つの追加のモデルファミリー（タイプIIa、b）が含まれる。

ジーンズの定理によれば、星の位相空間密度f は、運動の分離積分で表現されなければならない。球状星系では、それはエネルギーEと角運動量Jである。オシプコフ・メリットの仮説は

${\displaystyle f=f(Q)=f(E+J^{2}/2r_{a}^{2})}$

ここで、 r _{a は}「異方性半径」であり、自由パラメータである。この仮定は、速度空間における回転楕円体上ではf が一定であることを示唆している。

${\displaystyle 2Q=v_{r}^{2}+(1+r^{2}/r_{a}^{2})v_{t}^{2}+2\Phi (r)}$

ここで、 v _r、v _tは半径ベクトルrに平行および垂直な速度成分であり、Φ( r ) は重力ポテンシャルです。

密度ρはfの速度に関する積分である。

${\displaystyle \rho (r)=2\pi \int \int f(E,J)v_{t}dv_{t}dv_{r}}$

これは次のように書くことができる

${\displaystyle \rho (r)={2\pi \over r^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQf(Q)\int _{0}^{2r^{2}(Q-\Phi )/(1+r^{2}/r_{a}^{2})}dJ^{2}\left[2(Q-\Phi )-(J^{2}/r^{2})(1+r^{2}/r_{a}^{2})\right]^{-1/2}}$

または

${\displaystyle \rho (r)={4\pi \over 1+r^{2}/r_{a}^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQ{\sqrt {2(Q-\Phi )}}f(Q).}$

この方程式はアーベル積分方程式の形をしており、逆変換することでρを用いてfを表すことができる。

${\displaystyle f(Q)={{\sqrt {2}} \over 4\pi ^{2}}{d \over dQ}\int _{Q}^{0}{d\Phi \over {\sqrt {\Phi -Q}}}{d\rho ^{'} \over d\Phi },\ \ \ \ \ \rho ^{'}(\Phi )=\left[1+r(\Phi )^{2}/r_{a}^{2}\right]\rho \left[r(\Phi )\right].}$

上記と同様の導出に従えば、オシプコフ・メリットモデルにおける速度分散は以下を満たす。

${\displaystyle {\sigma _{r}^{2} \over \sigma _{t}^{2}}=1+{r^{2} \over r_{a}^{2}}.}$

動きはほぼ放射状（$\displaystyle \sigma _{r}\gg \sigma _{t}}$） のために${\displaystyle r\gg r_{a}}$そしてほぼ等方性（$\displaystyle \sigma _{r}\approx \sigma _{t}}$） のために${\displaystyle r\ll r_{a}}$これは望ましい特徴である。なぜなら、重力崩壊によって形成される恒星系は、等方的な中心部と放射状に異方性を持つ外層を持つからである。^{[ 4 ]}

r _aに小さすぎる値を割り当てると、あるQに対してfが負になることがあります。これは、球状質量モデルが常に純粋な放射状軌道で再現できるとは限らないという事実の結果です。軌道上の星の数は負にはなり得ないため、負のfを生成するr _aの値は非物理的です。この結果は、球状銀河モデルの異方性の最大度を制限するために使用できます。^{[ 3 ]}

メリットは1985年の論文で、等方性コアと接線方向に異方性を持つ2つのモデルファミリー（「タイプII」）を定義した。どちらのファミリーも、

${\displaystyle f=f(EJ^{2}/2r_{a}^{2})}$。

タイプIIaモデルでは、 r=r _aで軌道は完全に円形になり、それより大きい半径でも円形のままです。タイプIIbモデルでは、r aを超える恒星はさまざまな離心率の軌道上を_運動しますが、運動は常に円形に偏っています。どちらのファミリーでも、 rがr _aを超えると接線速度分散が急激に増加します。

CM Carolloら(1995) ^{[ 5 ]}は、タイプ I Osipkov–Merritt モデルの多くの観測可能な特性を導出しています。

オシプコフ・メリットモデルの典型的な応用例は以下のとおりです。

• 星団^{[ 6 ]} 、銀河^{[ 7 ]} 、ダークマターハロー^{[ 8 ]}、銀河団^{[ 9 ]}のモデリング
• 動的不安定性の研究のための異方性銀河モデルの構築^{[ 10 ] [ 11 ]}

• 恒星力学