一元配置分散分析

統計学において、一元配置分散分析（または一元配置分散分析）は、2つ以上のサンプルの平均が有意に異なるかどうかを比較する手法です（F分布を使用）。この分散分析手法では、数値応答変数「Y」と単一の説明変数「X」が必要であるため、「一元」です。^[1]

ANOVA は、すべてのグループのサンプルが同じ平均値を持つ母集団から抽出されているという帰無仮説を検定します。これを行うには、母集団の分散について 2 つの推定値を作成します。これらの推定値は、さまざまな仮定に基づいています (以下を参照)。ANOVA は、平均間で計算された分散とサンプル内の分散の比率である F 統計量を生成します。グループの平均が同じ平均値を持つ母集団から抽出されている場合、中心極限定理に従って、グループの平均間の分散はサンプルの分散よりも低くなります。したがって、比率が高いということは、サンプルが異なる平均値を持つ母集団から抽出されたことを意味します。^[1]

ただし、通常、一元配置分散分析は、2 グループのケースはt 検定でカバーできるため、少なくとも 3 つのグループ間の差異を検定するために使用されます(Gosset、1908)。比較する平均が 2 つしかない場合、t 検定とF 検定は同等です。分散分析とtの関係は、F  =  t ²で表されます。一元配置分散分析の拡張は、 2 つの異なるカテゴリ独立変数が 1 つの従属変数に与える影響を調べる二元配置分散分析です。

一元配置分散分析の結果は、次の仮定が満たされている限り信頼できるとみなされます。

• 応答変数の残差は正規分布（または近似的に正規分布）します。
• 集団の分散は等しい。
• 特定のグループに対する応答は、独立しており、同一に分布する正規ランダム変数です (単純ランダム サンプル(SRS) ではありません)。

データが順序データである場合、この検定の代わりに、クラスカル・ワリス一元配置分散分析などのノンパラメトリック検定を使用する必要があります。分散が等しいかどうかわからない場合は、2サンプルウェルチt検定の一般化を使用することができます。^[2]

ANOVAは正規性仮定の違反に関して比較的堅牢な手法である。^[3]

一元配置分散分析は、因子分析や多変量分析、共分散分析にも一般化できます。^{[説明が必要]}

一般的な文献では、各母集団が正規分布に従うという仮定に重大な違反がある場合、特にアルファレベルが小さくレイアウトが不均衡な場合、これらのF検定はいずれも堅牢ではないとよく述べられています。 ^{[4]さらに、}等分散性という基本的な仮定に違反した場合、タイプIの誤り特性はさらに深刻に悪化するとも主張されています。^[5]

しかし、これは 1950 年代以前の研究に基づく誤解です。モンテ カルロ シミュレーションによるこの問題の最初の包括的な調査は、ドナルドソン (1966) でした。^[6] 彼は、通常の逸脱 (正の歪み、不均等な分散) では「F検定は保守的」であり、したがって変数が有意であると判定される可能性は本来よりも低いことを示しました。ただし、サンプル サイズまたはセルの数が増えると、「検出力曲線は正規分布に基づくものに収束するようです」。Tiku (1971) は、「Fの非正規理論検出力は、サンプル サイズが大きくなるにつれて急激に減少する補正項によって正規理論検出力と異なることがわかった」ことを発見しました。^[7] 特に大規模なサンプルの場合、非正規性の問題は、一般的な記事が示唆するほど深刻ではありません。

現在の見解は、「モンテカルロ研究は、母集団内の分析対象変数の正規分布の仮定に違反した場合の感度を判断するために、正規分布ベースのテストで広く使用されてきた。これらの研究から得られた一般的な結論は、そのような違反の結果は以前考えられていたほど深刻ではないということである。これらの結論は、正規性仮定に対する懸念を完全に否定するものではないが、分布に依存する統計テストの全体的な人気は、すべての研究分野で高まった。」^[8]

因子配置におけるノンパラメトリックな代替案については、Sawilowskyを参照してください。^[9]詳細については、ANOVA on ranksを参照してください。

正規線形モデルは、異なる平均値を持つ同一のベル型 (正規) 曲線である確率分布を持つ治療グループを表します。したがって、モデルの適合には、各治療グループの平均と分散計算 (治療グループ内の平均分散を使用) のみが必要です。平均と分散の計算は、仮説検定の一部として実行されます。

完全ランダム化実験で一般的に使用される正規線形モデルは以下の通りである: ^[10]

${\displaystyle y_{i,j}=\mu _{j}+\varepsilon _{i,j}}$ （手段モデル）

または

${\displaystyle y_{i,j}=\mu +\tau _{j}+\varepsilon _{i,j}}$ （効果モデル）

どこ

${\displaystyle i=1,\dotsc ,I}$実験単位のインデックスです

${\displaystyle j=1,\dotsc ,J}$治療群に対する指標である

${\displaystyle I_{j}}$j番目の治療群の実験ユニットの数である

${\displaystyle I=\sum _{j}I_{j}}$実験ユニットの総数

${\displaystyle y_{i,j}}$観察である

${\displaystyle \mu_{j}}$はj番目の治療群の観測値の平均である

${\displaystyle \mu}$観測の総平均である

${\displaystyle \tau_{j}}$j番目の治療効果、全体平均からの偏差

${\displaystyle \sum \tau _{j}=0}$

${\displaystyle \mu _{j}=\mu +\tau _{j}}$

${\displaystyle \varepsilon \thicksim N(0,\sigma ^{2})}$は、正規分布する平均ゼロのランダム誤差です。${\displaystyle \varepsilon _{i,j}}$

実験ユニットのインデックスは、いくつかの方法で解釈できます。一部の実験では、同じ実験ユニットがさまざまな処理の対象となり、特定のユニットを指す場合があります。他の実験では、各処理グループに異なる実験ユニットのセットがあり、単に - 番目のリストのインデックスである場合があります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

実験観察を整理する 1 つの方法は、 列にグループ化することです。 ${\displaystyle y_{ij}}$

モデルを要約と比較:および。総平均と総分散は、グループ平均と分散からではなく、総合計から計算されます。 ${\displaystyle \mu =m}$${\displaystyle \mu_{j}=m_{j}}$

要約統計量が与えられると、仮説検定の計算が表形式で表示されます。説明値として SS の 2 列が表示されますが、結果を表示するために必要なのは 1 列だけです。

${\displaystyle MS_{Error}}$はモデルの 対応する分散の推定値です。${\displaystyle \sigma ^{2}}$

コアANOVA分析は一連の計算から構成されます。データは表形式で収集されます。

• 各処理グループは、実験ユニットの数、2 つの合計、平均、および分散によって要約されます。処理グループの要約は、ユニットの数と合計の合計を提供するために結合されます。総平均と総分散は総合計から計算されます。処理と総平均はモデルで使用されます。
• 要約から 3 つの DF と SS が計算されます。次に MS が計算され、比率によって F が決定されます。
• コンピューターは通常、F から p 値を決定します。これにより、処理によって有意に異なる結果が生じるかどうかが判断されます。結果が有意であれば、モデルは暫定的に有効です。

実験がバランスが取れている場合、すべての項が等しいため、SS 方程式は単純化されます。 ${\displaystyle I_{j}}$

実験単位（または環境効果）が均一ではない、より複雑な実験では、行統計も分析に使用されます。モデルには、 に依存する項が含まれます 。余分な項を決定すると、利用可能な自由度の数が減ります。 ${\displaystyle i}$

ある要因の 3 つの異なるレベルが反応に与える影響を調べる実験を考えてみましょう (例: 植物の成長に対する肥料の 3 つのレベル)。各レベルに 6 つの観察結果がある場合、次のような表に実験の結果を書き込むことができます。ここで、a ₁、a ₂、およびa ₃は、調査対象の要因の 3 つのレベルです。

この実験の全体的なF検定の帰無仮説 (H ₀と表記)は、因子の 3 つのレベルすべてが平均して同じ応答を生成するというものです。F 比を計算するには、次のようにします。

ステップ 1:各グループ内の平均を計算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {Y}}_{1}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{1i}={\frac {6+8+4+5+3+4}{6}}=5\\{\overline {Y}}_{2}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{2i}={\frac {8+12+9+11+6+8}{6}}=9\\{\overline {Y}}_{3}&={\frac {1}{6}}\sum Y_{3i}={\frac {13+9+11+8+7+12}{6}}=10\end{aligned}}}$

ステップ 2:全体の平均を計算します。

${\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {\sum _{i}{\overline {Y}}_{i}}{a}}={\frac {{\overline {Y}}_{1}+{\overline {Y}}_{2}+{\overline {Y}}_{3}}{a}}={\frac {5+9+10}{3}}=8}$

ここで、a はグループの数です。

ステップ 3:「グループ間」の二乗差の合計を計算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{B}&=n({\overline {Y}}_{1}-{\overline {Y}})^{2}+n({\overline {Y}}_{2}-{\overline {Y}})^{2}+n({\overline {Y}}_{3}-{\overline {Y}})^{2}\\[8pt]&=6(5-8)^{2}+6(9-8)^{2}+6(10-8)^{2}=84\end{aligned}}}$

ここで、n はグループあたりのデータ値の数です。

グループ間の自由度はグループ数より1少ない

${\displaystyle f_{b}=3-1=2}$

したがって、グループ間の平均二乗値は

${\displaystyle MS_{B}=84/2=42}$

ステップ4:「グループ内」の平方和を計算します。まず各グループのデータを中央に集めます。

グループ内二乗和は、この表の18個の値すべての二乗和である。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{W}=&(1)^{2}+(3)^{2}+(-1)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+\\&(-1)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}+\\&(3)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}+(2)^{2}\\=&\ 1+9+1+0+4+1+1+9+0+4+9+1+9+1+1+4+9+4\\=&\ 68\\\end{aligned}}}$

グループ内の自由度は

${\displaystyle f_{W}=a(n-1)=3(6-1)=15}$

したがって、グループ内の平均二乗値は

${\displaystyle MS_{W}=S_{W}/f_{W}=68/15\approx 4.5}$

ステップ5: F比は

${\displaystyle F={\frac {MS_{B}}{MS_{W}}}\approx 42/4.5\approx 9.3}$

臨界値とは、検定を拒否するために検定統計量が超えなければならない数値です。この場合、α = 0.05でF _crit (2,15) = 3.68 です。F =9.3 > 3.68 なので、結果は5% の有意水準で有意です。帰無仮説は受け入れられず、3 つのグループの期待値が異なるという強力な証拠があると結論付けられます。この検定の p 値は 0.002 です。

F検定を実行した後、グループ平均の「事後」分析を実行するのが一般的です。この場合、最初の 2 つのグループの平均は 4 単位異なり、最初のグループと 3 番目のグループの平均は 5 単位異なり、2 番目のグループと 3 番目のグループの平均は 1 単位しか異なりません。これらの差のそれぞれの標準誤差は です。したがって、平均差が標準誤差の 3 倍以上であるため、最初のグループは他のグループとは大きく異なり、最初のグループの母平均が他のグループの母平均と異なることはほぼ確実です。ただし、2 番目と 3 番目のグループの平均差は 1 単位であり、標準誤差と同程度であるため、これらのグループの母平均が互いに異なるという証拠はありません。 ${\displaystyle {\sqrt {4.5/6+4.5/6}}=1.2}$

注：F ( x ,  y )は、分子にxの自由度、分母に yの自由度を持つF分布累積分布関数を表します。

• 分散分析
• F 検定(一元配置分散分析の例を含む)
• 混合モデル
• 多変量分散分析（MANOVA）
• 反復測定分散分析
• 二元配置分散分析
• ウェルチのt検定

• ジョージ・カセラ（2008年4月18日）。統計デザイン。Springer。ISBN 978-0-387-75965-4。