非N

コンピューティングにおいて、NaN ( / n æ n / ) はNot a Numberの略で、 0/0の結果など、数値として定義されていない数値データ型(多くの場合、浮動小数点数) の特定の値です。 NaN の体系的な使用は、無限大などの他の非有限量の表現とともに、1985 年にIEEE 754浮動小数点標準によって導入されました。

数学では、0/0の結果は通常、数値^[a]として定義されていないため、コンピューティングシステムではNaNで表されることがあります。

負の数の平方根は実数ではないため、準拠した計算システムではNaNでも表されます。NaNは計算で欠損値を表すためにも使用されます。^{[1] [2]}

2 種類の NaN が提供されており、これらはquiet NaNとsignaling NaNと呼ばれます。 quiet NaN は、無効な演算または値から生じるエラーを伝播するために使用されます。 signaling NaN は、数値計算と記号計算の混合や、基本的な浮動小数点演算のその他の拡張などの高度な機能をサポートできます。

浮動小数点計算では、 NaN は無限大と同じではありませんが、実数の浮動小数点表現や浮動小数点演算では、どちらも通常、特別なケースとして扱われます。無効な演算は、算術オーバーフロー(無限大または絶対値の最大の有限数を返す) や算術アンダーフロー(絶対値の最小の正規数、非正規数、またはゼロを返す) と同じでもありません。

IEEE 754 NaN は、指数フィールドが 1 で埋められ (無限大値のように)、仮数フィールドにゼロ以外の数値がいくつか入力されてエンコードされます (無限大値と区別するため)。これにより、仮数フィールドで設定されているビットだけでなく、先頭の符号ビットの値に応じて、複数の異なる NaN 値を定義できます (ただし、アプリケーションは、それらの異なる NaN 値に対して異なるセマンティクスを提供する必要はありません)。

例えば、IEEE 754単精度（32ビット）NaNは次のようにエンコードされます。

ここで、sは符号 (アプリケーションではほとんど無視されます) であり、xシーケンスは 0 以外の数値を表します (値 0 は無限大をエンコードします)。実際には、xの最上位ビットは NaN の種類 (「quiet NaN」または「signaling NaN」) を決定するために使用されます (詳細は「エンコード」を参照)。残りのビットはペイロードをエンコードします(アプリケーションではほとんど無視されます)。

順序付き比較以外の浮動小数点演算では、通常、静かな NaN ( qNaN ) が伝播されます。シグナリング NaN ( sNaN ) に対するほとんどの浮動小数点演算では、無効演算例外が通知されます。デフォルトの例外アクションは qNaN オペランドの場合と同じであり、浮動小数点結果を生成する場合は qNaN が生成されます。

算術演算を通じて静かな NaN が伝播することで、中間段階での広範なテストを行わなくても、一連の演算の最後にエラーを検出できます。たとえば、NaN から始めて 1 を 5 回続けて加算すると、加算のたびに NaN になりますが、最終結果が NaN であることに注意するだけでよいため、各計算をチェックする必要はありません。ただし、言語と関数によっては、チェーン内の 1 つの計算で他のすべての浮動小数点値に対して一定の結果が返されるような計算チェーンから NaN を黙って削除することができます。たとえば、計算x ^0では、 xが NaNであっても結果 1 が返される可能性があるため、最終結果のみをチェックすると、x ⁰の前の計算で NaN になったという事実がわかりにくくなります。一般に、NaN が導入されるすべてのケースを検出するには、後で無効フラグを設定するためのテストを行う必要があります^[3] (詳細については、以下の関数の定義を参照してください)。

旧IEEE 754-2008規格のセクション6.2には、数値を優先する2つの異常な関数（数値であると想定される2つのオペランドの最大値と最小値をそれぞれ返す関数maxNumと関数）があり、オペランドの1つでもNaNの場合、もう1つのオペランドの値が返されます。IEEE 754-2019改訂版では、これらの関数は結合性がない（シグナリングNaNがオペランドに現れる場合）ため置き換えられました。^{[4] [5]}minNum

IEEE 754標準では、NaN オペランドの可能性を考慮するように比較が指定されています。 ^[6] 2 つの実数、または拡張実数(IEEE 754 浮動小数点形式など) を比較する場合、最初の数値は 2 番目の数値より小さい、等しい、または大きい可能性があります。これにより、3 つの関係が考えられます。ただし、比較の少なくとも 1 つのオペランドが NaN の場合、この 3 分法は適用されず、4 番目の関係であるunorderedが必要になります。特に、2 つの NaN 値は、等しいとしてではなく、unordered として比較されます。

指定されているように、数学記号 <、≤、=、≥、> (またはプログラミング言語の同等の表記) に関連付けられた述語は、順序のない関係では false を返します。したがって、たとえば、順序のない関係では、NOT ( x < y )はx ≥ y :と論理的に同等ではありません。つまり、 xまたはyが NaN の場合、前者は true を返し、後者は false を返します。ただし、≠ は = の否定として定義されているため、順序のない関係では true を返します。

これらの規則から、x をそれ自身と比較すること、つまりx ≠ xまたはx = x を使用することで、xが NaN であるか非 NaN であるかをテストできます。

比較述語は、クワイエット NaN オペランドに対してシグナル型または非シグナル型のいずれかです。シグナル型バージョンは、このような比較に対して無効操作例外をシグナルします (つまり、デフォルトでは、非シグナル型バージョンの動作に加えて、対応するステータス フラグを設定するだけです)。等価述語と不等価述語は非シグナル型です。上記の数学記号に関連付けられたその他の標準比較述語は、NaN オペランドを受け取った場合、すべてシグナル型です。標準では、これらの他の述語の非シグナル型も提供されています。述語は、値が NaN かどうかを判定し、xがシグナル型 NaN であっても例外をシグナルしません。 isNaN(x)

IEEE浮動小数点標準では、NaN ≠ NaNが成立することが要求されています。対照的に、2022年の正数演算のプライベート標準では、NaR（Not a Real）という同様の概念があり、NaR = NaRが成立します。^[7]

NaNを返す演算には3種類ある: ^[8]

• 少なくとも 1 つの NaN オペランドを含むほとんどの操作。
• 不定形:
  • 除算(±0) / (±0)と(±∞) / (±∞)。
  • (±0) × (±∞)と(±∞) × (±0)の乗算。
  • xが無限大またはyがゼロの場合、剰余x  % y になります。
  • 加算(+∞) + (−∞)、(−∞) + (+∞)および同等の減算(+∞) − (+∞)、(−∞) − (−∞)。
  • 標準には、電力の代替関数があります。
    • 標準pow関数と整数指数pown関数は、0 ⁰、1 ^∞、および∞ ^{0 を}1として定義します。
    • このpowr関数は、3 つの不確定形式すべてを無効な操作として定義し、NaN を返します。
• 複雑な結果をもたらす実際の操作、例:
  • 負の数の平方根。
  • 負の数の対数。
  • -1 未満または 1 より大きい数の逆正弦または逆余弦。

NaNは、欠損値の表現として変数に明示的に割り当てられることもあります。IEEE標準以前は、プログラマーは未定義値や欠損値を表すために特別な値（-99999999など）を使用することが多かったのですが、一貫して正しく処理されるという保証はありませんでした。^[1]

NaNは、上記のすべてのケースで必ずしも生成されるわけではありません。演算が例外条件を生成する可能性があり、トラップがマスクされていない場合、演算は代わりにトラップを引き起こします。^[9]オペランドが静かなNaNであり、シグナリングNaNオペランドもない場合は、例外条件はなく、結果は静かなNaNになります。明示的な割り当ては、シグナリングNaNの場合でも例外を引き起こしません。

一般に、静かな NaN (qNaN) は、ほとんどの操作に伝播するため、追加の例外は発生しません。ただし、形式変換や特定の比較操作など、浮動小数点値を返さない一部の操作では、無効な操作例外が通知されます 。

シグナリング NaN (sNaN) は、ほとんどの操作で使用されると無効な操作例外を発生させ、適切な場合は伝播する可能性のある qNaN に「鎮圧」される NaN の特殊な形式です。これらはIEEE 754で導入されました。これらの使用方法については、いくつかのアイデアがあります。

• 初期化されていないメモリをシグナリングNaNで埋めると、データが初期化される前に使用されると無効な操作例外が発生します。
• 次のように、より複雑なオブジェクトのプレースホルダーとして sNaN を使用します。
  • アンダーフローした数値の表現
  • オーバーフローした数値の表現
  • より高精度な形式の数値
  • 複素数​

トラップ ハンドラは、sNaN に遭遇すると、それをデコードし、計算結果のインデックスを返すことができます。実際には、このアプローチは多くの複雑な問題に直面します。いくつかの単純な演算 (絶対値など) における NaN の符号ビットの扱いは、算術演算の場合とは異なります。トラップは標準では必須ではありません。^{[引用が必要]}

IEEE 754-2019では、 getPayload、setPayload、setPayloadSignaling操作を実装することを推奨しており、^[10]ペイロードへのアクセスを標準化してアプリケーションの使用を効率化しています。^[11] IEEE 754-2019の背景文書によると、この推奨事項は「下位互換性のために留保された状態で、新しい実装に必要」と解釈されるべきです。^[12]

IEEE 754交換形式では、NaN は NaN に固有の特定の定義済みビット パターンによって識別されます。符号ビットは重要ではありません。バイナリ形式の NaN は、指数フィールドが 1 (無限大値のように) で埋められ、仮数フィールドにゼロ以外の数値 (無限大値と区別するため) がいくつか含まれて表されます。1985 年の元の IEEE 754 標準 ( IEEE 754-1985 ) では、バイナリ浮動小数点形式のみが記述されており、シグナリング/クワイエット状態のタグ付け方法は指定されていませんでした。実際には、仮数フィールドの最上位ビットによって、NaN がシグナリングかクワイエットかが決定されました。結果として、意味が逆の 2 つの異なる実装が生まれました。

• ほとんどのプロセッサ ( IntelおよびAMDのx86ファミリ、Motorola 68000 ファミリ、AIM PowerPCファミリ、ARMファミリ、Sun SPARCファミリ、およびオプションで新しいMIPSプロセッサを含む) は、NaN が quiet の場合は signaling/quiet ビットを 0 以外に設定し、NaN が signaling の場合は 0 に設定します。したがって、これらのプロセッサでは、ビットはフラグを表しますis_quiet。
• PA-RISCおよび古い MIPS プロセッサによって生成された NaN では、NaN が quiet の場合、signaling/quiet ビットは 0 になり、NaN が signaling の場合、0 以外になります。したがって、これらのプロセッサでは、ビットはis_signalingフラグを表します。

前者の選択肢は、シグナリング/クワイエットビットを1に設定するだけでシグナリングNaNを静かにすることができるため好まれている。後者の選択肢では、シグナリング/クワイエットビットを0に設定すると無限大になる可能性があるため、逆は不可能である。^[13]

IEEE 754 標準の2008 年および 2019 年の改訂版では、シグナリング/静止状態のエンコードに関する正式な要件と推奨事項が定められています。

• バイナリ交換フォーマットの場合、有効桁フィールドの最上位ビットは、静かなNaNとシグナリングNaNを区別するために排他的に使用されます。^[14]（この要件は2019年の改訂で追加されました。）さらに、それはis_quietフラグである必要があります。^[15]つまり、NaNが静かな場合、このビットはゼロ以外になり、NaNがシグナリングの場合、このビットはゼロになります。
• 10進数交換フォーマットでは、2進数でエンコードされているか10進数でエンコードされているかに関係なく、NaNは、符号ビットの後の組み合わせフィールドの上位5ビットが1に設定されていることによって識別されます。フィールドの6番目のビットはフラグですis_signaling。つまり、NaNが静かな場合はこのビットはゼロになり、NaNがシグナリングしている場合はゼロ以外の値になります。^[16]

IEEE 754-2008準拠のため、最近のMIPSプロセッサのシグナリング/クワイエットビットの意味は、FCSRレジスタのNAN2008フィールドを介して設定できるようになりました。このサポートはMIPSリリース3ではオプションで、リリース5では必須です。^[17]

仮数フィールドの残りのビットの状態/値は、標準では定義されていません。この値は NaN の「ペイロード」と呼ばれます。操作に単一の NaN 入力があり、それが出力に伝播する場合、結果の NaN のペイロードは入力 NaN のペイロードである必要があります (上で説明しis_signalingたように、シグナリング/静止状態がフラグによってエンコードされている場合、バイナリ形式ではこれが常に可能であるとは限りません)。複数の NaN 入力がある場合、結果の NaN のペイロードは入力 NaN の 1 つから取得する必要があります。標準ではどれから取得するかは指定されていません。

多くのシステムには「標準 NaN」という概念があり、NaN 入力を持たない浮動小数点演算によって生成される唯一の可能な qNaN として、1 つの特定の NaN 値が選択されます。通常、この値は、すべてゼロのペイロードと任意に定義された符号ビットを持つ静かな NaN として選択されます。

• RISC-Vでは、ほとんどの浮動小数点演算では、オペランドとしてNaNが指定されていても、正規のNaNのみが生成されます（ペイロードは伝播されません）。^{[18] [b]} ARMでは、この動作に対して「デフォルトNaN」モードを有効にすることができます。^[20] WebAssemblyでも同じ動作をしますが、2つの正規値が許可されます。^[21]
• 多くの言語では、特定のNaN値を強制する実装を必要とせずに、異なるNaN値を区別しません。ECMAScript（JavaScript）は、すべてのNaNを同じ値として扱います。^[21] Javaは「ほとんどの場合」同じ扱いをします。^[22]

限られた量のNaN表現を使用すると、システムは算術以外の目的で他のNaN値を使用できます。最も重要なのは「NaNボックス化」、つまりペイロードを任意のデータに使用することです。^[23]（この「正規NaN」の概念は、IEEE 754の「正規エンコーディング」の概念と同じではありません。）

入力として静かな NaN を受け取る数値関数の結果の適切な定義については意見が分かれています。1 つの見解は、エラーの指示を伝播するために、すべてのケースで NaN が関数の出力に伝播されるべきであるというものです。別の見解 ( ISO C99およびIEEE 754-2008標準で一般的に採用されている見解) は、関数に複数の引数があり、出力がすべての非 NaN 入力 (無限大を含む) によって一意に決定される場合、その値が結果であるべきであるというものです。したがって、たとえば、およびによって返される値はhypot(±∞, qNaN)+ hypot(qNaN, ±∞)∞ です。

この問題は、指数関数= x ^yの場合に特に深刻です。 0 ⁰、 ∞ ⁰、 1 ^{∞という表現は、極限として現れる場合 ( ∞ × 0 のように)}は不定形式とみなされ、ゼロのゼロ乗を1 と定義する かどうかという問題は意見が分かれています。pow(x, y)

パラメータが未定義のときに出力が未定義とみなされる場合、 はpow(1, qNaN)qNaN を生成する必要があります。ただし、数学ライブラリは通常、任意の実数yに対して、またy が無限大の場合でも に対して 1 を返しています。同様に、xが 0 または無限大の場合でも に対して1 を生成します。不定形式に対して値 1 を返す理由は、特異点における関数の値が、パラメータの極限値の周りの球のごく一部を除いてすべて値^{[明確化が必要]}の極限内にある場合、特定の値としてとることができるためです。 ^{[引用が必要]} IEEE 754標準の 2008 年バージョンでは、と は、静かな NaN の代わりに他のものが使用されている場合は 1 を返すため、どちらも 1 を返す必要があるとされています。さらに、 ISO C99 およびそれ以降の IEEE 754-2008 では、 qNaN ではなく= 1を指定することを選択しました。この選択の理由はCの根拠で説明されている: ^[24]「一般に、C99では数値が有用な場合にNaNの結果を避けます。... の結果は+∞です。なぜなら、すべての大きな正の浮動小数点値は偶数だからです。」 pow(1, y) pow(x, 0)pow(1, qNaN)pow(qNaN, 0)pow(−1, ±∞)pow(−2, ∞)

べき乗関数の動作についてより厳密な解釈を求める人々の要望に応えるため、2008 標準では、指数が整数でなければならない と、パラメータが NaN であるか、べき乗の結果が不確定な形式になる場合に NaN を返す という2つの追加のべき乗関数が定義されています。 pown(x, n)powr(x, y)

ほとんどの固定サイズの整数形式では、無効なデータを明示的に示すことはできません。このような場合、NaNを整数型に変換するときに、IEEE 754標準では無効操作例外を通知する必要があります。たとえば、 Javaでは、このような操作によりインスタンスがスローされますjava.lang.ArithmeticException。^[25] Cでは、未定義の動作が発生しますが、付録Fがサポートされている場合、操作により「無効な」浮動小数点例外（IEEE標準で要求されている）と未指定の値が生成されます。

PerlのMath::BigIntパッケージでは、有効な整数を表さない文字列の結果に「NaN」を使用します。^[26]

> perl -mMath::BigInt -e "print Math::BigInt->new('foo')" 
NaN

オペレーティング システムやプログラミング言語によって、NaN の文字列表現が異なる場合があります。

nan (C、C++、Python)
NaN (ECMAScript、Rust、C#、Julia)。Juliaは、精度に応じて、NaN32 および NaN16 の代替 NaN を表示する場合があります。NaN は Float64 型用です。
非数%
NAN (C、C++、Rust)
NaNQ (IBM XL および AIX: Fortran、C++ 提案 n2290)
NaNS（同上）
qNaN
sNaN
1.#SNAN (Excel)
1.#QNAN (エクセル)
-1.#IND (エクセル)
+nan.0 (スキーム)

実際には、エンコードされた NaN には符号、クワイエット/シグナリング ビット、およびオプションの「診断情報」(ペイロードと呼ばれることもあります)があるため、これらは NaN の文字列表現にも時々見られます。次に例をいくつか示します。

• C および C++ 言語では、標準ライブラリ関数 (例 ) によって、存在する場合は常に符号ビットが表示されます-nan。ペイロードやシグナリング ステータスの標準的な表示はありませんが、特定のペイロードの静かな NaN 値は、文字列を数値解析関数 (例 ) に渡すか、文字シーケンス文字列を(またはsNaN の場合)に渡すことによって構築できます。どちらも実装定義の方法で解釈されます。 nan(char-sequence)strtodnan()nans()
  • GCCとLLVM はnan()、との組み込み実装を提供しますnans()。これらは、整数基数の検出により、文字シーケンスをの整数strtoull(または異なるサイズの同等の値) として解析します。
  • GNU Cライブラリの浮動小数点パーサーは、文字シーケンス文字列を「何らかの未指定の形式」で使用します。^[27]実際には、この解析は最大64ビットのペイロードに対してGCC/LLVMの解析と同等です。
  • Newlib は解析を実装していませんnan()が、strtod()プレフィックスなしの 16 進形式を受け入れます。
  • musl はペイロード解析を実装していません。

すべての言語が複数の NaN の存在を認めているわけではありません。たとえば、ECMAScript では全体で 1 つの NaN 値のみが使用されます。

• IEEE コンピュータ協会 (2008 年 8 月 29 日)。IEEE浮動小数点演算標準。IEEE。pp. 1–70。doi :10.1109/ IEEESTD.2008.4610935。ISBN 978-0-7381-5753-5IEEE 規格 754-2008。
• IEEE コンピュータ協会 (2019 年 7 月 22 日)。IEEE浮動小数点演算標準。IEEE。pp. 1–84。doi :10.1109/ IEEESTD.2019.8766229。ISBN 978-1-5044-5924-2IEEE 規格 754-2019。

• 数字ではない、foldoc.org
• IEEE 754-2008 浮動小数点演算標準(サブスクリプションが必要)
• IEEE 754-2019 浮動小数点演算標準(サブスクリプションが必要)