新古典派輸送

プラズマ物理学と磁気閉じ込め核融合において、新古典輸送または新古典拡散は、通常トカマクまたはステラレータで見られるトロイダルプラズマの衝突輸送の理論的記述である。これは、新しい拡散効果を生み出すトロイダル形状による不均一な磁場の効果を追加した 古典的拡散の修正である。

古典的な輸送モデルでは、磁場内のプラズマは、力線の周りを螺旋状の経路で移動する多数の粒子としてモデル化されます。一般的な原子炉の設計では、線はほぼ平行であるため、隣接する線の周りを周回する粒子は衝突して散乱する可能性があります。その結果、ランダムウォークプロセスが発生し、最終的に粒子は磁場の外側になってしまいます。

新古典輸送は、磁場の幾何学的形状の効果を加えます。特に、トカマクや類似のトロイダル配置内の磁場を考慮します。この配置では、磁場は内側の曲線の方が外側よりも強くなりますが、これは単にその領域で磁石が互いに接近しているためです。これらの力を均等にするために、磁場全体が螺旋状にねじれ、粒子が原子炉の内側から外側へ交互に移動します。

この場合、粒子が外側から内側へ移動すると、増加する磁力が見られます。粒子のエネルギーが低い場合、この増加する磁場により、磁気鏡のように粒子の方向が反転することがあります。粒子は、今度は逆方向に反応器を通過して外側の限界まで移動し、その後、同じ反射プロセスが発生する内側に戻ります。これにより、粒子の集団が 2 点間を行ったり来たりして、上からバナナのように見える経路、いわゆるバナナ軌道を描きます。

マクスウェル・ボルツマン分布の長い尾部にある粒子はどれもこの影響を受けるため、常にそのようなバナナ粒子の自然な集団が存在します。バナナ粒子は軌道の半分を逆方向に移動するため、空間内でのドリフト動作は振動的です。したがって、粒子が衝突すると、平均ステップ サイズ (バナナの幅) はジャイロ半径よりもはるかに大きくなり、磁場を横切る新古典的拡散につながります。

ガイド中心軌道のトロイダル形状の結果、磁気鏡と同様に、磁場勾配の存在により、一部の粒子が外側から内側への軌道上で反射される可能性があります。反射された粒子はポロイダル面内で完全に回転することができず、バナナ軌道に沿って捕捉されます。

これは、ほぼ円形の断面を持つ低アスペクト比と高アスペクト比のトカマク平衡を 考慮することで実証できます。この場合、磁束面を近似的に記述するために、磁気軸を中心とした極座標を使用できます。全磁場の大きさは、次の式で近似できます。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle r={\text{定数}}}$

${\displaystyle B\approx B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })}$

ここで、下付き文字は磁気軸の値、は長半径、は逆アスペクト比、は磁場です。この磁場におけるドリフト整列ガイド中心軌道の平行成分は、電場がないと仮定すると、次のように表されます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle (r=0)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \epsilon =r/R_{0}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle m{\dot {v}}_{\Parallel }=-\mu \nabla _{\Parallel }B=-\nabla _{\Parallel }(U(\theta ))}$

ここで、は粒子の質量、は速度、 は磁気モーメント（第 1 断熱不変量）です。下付き文字の方向は磁場に対して平行か垂直かを示します。は運動エネルギーの保存を反映する有効ポテンシャルです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle \mu =mv_{\perp }^{2}/2B}$${\displaystyle U(\theta )=\mu B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=mv_{\parallel }^{2}/2+mv_{\perp }^{2}/2=mv_{\parallel }^{2}/2+U={\text{定数}}}$

平行軌道は鏡像力を受け、磁場の強さが増す方向に移動する粒子はこの力によって反射されます。磁場が磁力線に沿って最小値を持つ場合、この弱い磁場の領域にある粒子は捕捉される可能性があります。これは、私たちが使用している形式を考えると確かに当てはまります。粒子は、十分な大きさであれば反射されるか (捕捉された粒子) 、そうでなければポロイダル回転を完了します (通過する粒子)。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle v_{\perp }>v_{\Parallel }}$

これを詳しく見ると、有効電位の最大値と最小値はととして識別できます。通過する粒子は を持ち、捕捉された粒子は を持ちます。これを認識し、運動定数 を定義すると、 ${\displaystyle U_{\min }=\mu B_{0}(1-\epsilon )}$${\displaystyle U_{\max }=\mu B_{0}(1+\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}>U_{\max}}$${\displaystyle U_{\min }}\leq U_{\max }}$${\displaystyle \lambda =\mu B_{0}/{\mathcal {E}}\geq 0}$

• 通過：${\displaystyle 0\leq \lambda <1-\epsilon }$
• 閉じ込められた:${\displaystyle 1-\epsilon <\lambda \leq 1+\epsilon }$

軌道幅は、軌道周期にわたるの変化を考慮することで推定できます。およびの保存則を使用すると、${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle v_{\parallel }}$${\displaystyle \Delta r\sim \Delta v_{\parallel }/\Omega _{\text{p}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v_{\parallel }=\pm v{\sqrt {1-\lambda B/B_{0}}}\approx \pm v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta })}}}$

軌道幅は次のように推定できる。

• 通過幅:${\displaystyle \Delta r_{\text{p}}\sim q\rho }$
• バナナの幅:${\displaystyle \Delta r_{\text{b}}\sim q\rho /{\sqrt {\epsilon }}}$

捕捉された粒子の反射角 がゼロになる 角度は${\displaystyle \theta _{\text{b}}}$${\displaystyle v_{\parallel }}$

${\displaystyle v_{\parallel }(\theta _{\text{b}})=0\quad \Rightarrow \quad \cos {\theta _{\text{b}}}={\frac {\lambda -1}{\epsilon \lambda }}}$

跳ね返り時間は 、粒子がポロイダル軌道を一周するのに必要な時間です。これは次のように計算されます。${\displaystyle \tau _{\text{b}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{b}}=\int {\text{d}}t=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\dot {\theta }}}=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{v_{\parallel }{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla \theta }}\simeq {\frac {B}{B_{\theta }}}\oint {\frac {r{\text{d}}\theta }{\sigma v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta }}})}}}$

ここで、積分は次のように書き直すことができる。${\displaystyle \sigma =\pm 1}$

${\displaystyle \tau _{\text{b}}\simeq {\frac {qR}{v{\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\sigma {\sqrt {k^{2}-\sin ^{2}(\theta /2)}}}}}$

ここで、およびは、捕捉粒子に対しても等価である。これは、第一種完全楕円積分の結果を用いて評価することができる。${\displaystyle q=rB_{\phi }/RB_{\theta }}$${\displaystyle k^{2}\equiv [1-\lambda (1-\epsilon )]/2\epsilon \lambda }$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta _{\text{b}}/2)}$

${\displaystyle K(k)\equiv \int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}},\quad 0<k\leq 1}$

プロパティ付き

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2}}(1+{\mathcal {O}}(k^{2}))\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 0\\K(k)&\rightarrow \ln {\frac {4}{\sqrt {1-k^{2}}}}\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 1\end{aligned}}}$

通過する粒子の跳ね返り時間は、次の積分によって得られる。${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \tau _{b}={\frac {4qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}{\frac {K(k^{-1})}{k}}}$

ここで、捕捉された粒子の跳ね返り時間は、とを積分して評価され、${\displaystyle [0,\theta _{\text{b}}]}$${\displaystyle \lambda \approx 1}$

${\displaystyle \tau _{b}={\frac {8qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon }}}}K(k)}$

限界ケースは

• スーパーパス：${\displaystyle k\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad K(k^{-1})\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow 2\pi qR/v_{\parallel }}$
• スーパートラップ：${\displaystyle k\rightarrow 0\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow (2\pi qR/v_{\parallel }){\sqrt {2/\epsilon }}}$
• かろうじて閉じ込められた:${\displaystyle k\rightarrow 1\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow \infty }$

• ヴェンデルシュタイン 7-X

• Wagner, F.; Wobig, H. (2005)。「磁気閉じ込め」。Dinklage, Andreas、Klinger, Thomas、Marx, Gerrit、Schweikhard, Lutz (編)。プラズマ物理学: 閉じ込め、輸送、集団効果。Springer。