マイラーバルーン（幾何学）

幾何学では、マイラー バルーンは回転面です。球は与えられた表面積に対して最大の体積を囲む表面ですが、マイラー バルーンは与えられた母線弧の長さに対して体積を最大化します。わずかに平らになった球に似ています。

この形状は、柔軟で非弾性の素材でできた 2 枚の円形シートでできた物理的な風船を膨らませることで、ほぼ実現されます。たとえば、アルミニウムでコーティングされたプラスチックでできた人気のおもちゃの風船などです。直感に反するかもしれませんが、膨らんだ風船の表面積は、円形シートの表面積よりも小さくなります。これは、縁の近くで表面が物理的に縮むためで、縮みが大きくなります。

「マイラーバルーン」は、この形状を最初に研究した W. ポールソンがこの図形に付けた名前です。この用語はその後、他の著者によって採用されました。「マイラー」はデュポン社の商標です。

風船の母線の正の部分は関数z ( x ) であり、母線の長さaが与えられている場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle z(r)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!{\sqrt {1+z'(x)^{2}}}\,dx\,=a}$ （つまり、母線の長さが与えられます）

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!4\pi xz(x)\,dx}$最大である（つまり、音量が最大である）

ここで、半径r は制約から決定されます。

半径 r の風船の生成線のパラメトリック方程式は次のように表されます。

${\displaystyle x(u)=r\cos u;\qquad z(u)=r{\sqrt {2}}\left[E(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]{\text{ }}u\in [0,{\frac {\pi }{2}}]\,}$

（ここでEとFは第2種と第1種の楕円積分）

風船の「厚さ」（つまり、回転軸に沿った距離）は、上記のパラメトリック方程式から計算することで決定できます。厚さτは次のように与えられます。 ${\displaystyle 2z({\frac {\pi }{2}})}$

${\displaystyle {\tau }=2Br,}$

一方、母線の長さaは次のように与えられる。

${\displaystyle a=Ar}$

ここでrは半径、A ≈ 1.3110287771およびB ≈ 0.5990701173はそれぞれ第1および第2のレムニスケート定数です。

風船の体積は次のように求められ ます。

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi ar^{2},}$

ここで、a は母線の弧の長さです。

または代わりに:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\tau a^{2},}$

ここで、τは回転軸の厚さです。

風船の表面積Sは次のように 表される。

${\displaystyle S=\pi ^{2}r^{2}}$

ここで、r は風船の半径です。

§ パラメトリック特性評価で与えられたz(u)のパラメトリック方程式に代入すると、 xに関するzの次の方程式が得られます。 ${\displaystyle u=\arccos(x/r)}$

${\displaystyle z(x)=r{\sqrt {2}}\left[E(\arccos(x/r),{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(\arccos(x/r),{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]}$

上記の式の導関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-{\frac {x^{2}}{\sqrt {r^{4}-x^{4}}}}}$

したがって、表面積は次のように表されます。

${\displaystyle S=\int _{0}^{r}\!4\pi x{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$

上記の積分を解くと、 が得られます。 ${\displaystyle S=\pi ^{2}r^{2}}$

マイラー バルーン上のすべての点における主曲率の比はちょうど 2 であり、これは Weingarten 面の興味深い例です。さらに、この 1 つの特性がバルーンの特徴を完全に表しています。バルーンは回転軸で明らかに平らになっています。この点は実際にはどの方向でも曲率がゼロです。

• 紙袋問題

• Mladenov, IM (2001). 「マイラーバルーンの幾何学について」. CR Acad. Bulg. Sci. 54 : 39–44. Bibcode :2001CRABS..54i..39M.
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• フィンチ、スティーブン (2013 年 8 月 13 日)。「非弾性膜の膨張」(PDF)。